Question

にひ

なぜ、直線Mにおいての任意の複素数をZと表すことができるんですか？？直線Lの方でもZが使われてて違うものなのになぜ同じ文字でおけるのか教えて欲しいです！！

B(β)
z-a
z-a
よって,
7-B
Y-B.
Think
例題 C2.36 垂線の方程式,垂心
****
複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(a),B(β),C(y) を
定める.
ことを証
(1) 点Aから直線 BC に垂線lを引くとき, この垂線ℓ上の任意の点
D1S
P(z)について、z-a=By (2-2) が成り立つことを証明せよ。
(2) △ABCの垂心を α, β, y で表せ.
考え方 (1) 点A(a),B(3), C(y), P(z) について,|a|=|β|=|y|=1
解答
APLBC または z=a
z-a
(山形大改)
(2) 点Bから直線CAに垂線を引くとき,この垂線上の任意の点Q (ω) について (1)
1-1が純虚数または01-8=-1
と同様の式が成り立つ垂心は z=w となる複素数である.
(1) Pは垂線上の点なので,
AP⊥BC または z=α より
z-a -は純虚数または 0
Y-B
(A(α)→0(0)
とな
[B(B) → 0(0)
るように平行移動す
Pzると,P,Cは、それ
A(α)ぞれ
[P(z)→P (z-a)
IC(y)→C^(-3)
YA
P
1.
0
-1
1
上にある
であるから,
C(r)-1=0
に移る.
z-a
z-a
A
7-B
Y-B
両辺に y-βを掛けて,
P'(z-a)
z-α=-(y-β)
(28)
Ala
・①
ここで, 3点A(a),B(β), C(y) は単位円周上の点よ
り |a|=|β|=|y|=1
C'(r-B)
よって, zキαのと
したがって,|a|=||=|y|=1 であるから,
OP OC を
aa=βB=yy=1より,
0のまわりに今だ
a= B= y= .....2
a B'
A
(0-8)=0
け回転して実数倍
したベクトルより
②①に代入すると,
Z
z-a=-(y-β)
=BY (1)
1
1α18
8
2-
a
a
=(β-y)-
B-Y
B
BY
よって
00:
Z
・③
となり、題意は示された「円
z-a=k cos
a=k(cos
+isin(7-8)
RY=ki(7-8)
は0でない実数)
よって
zaki (純虚数
または0)
CES
③は直線lの方程式
(1+1を複素数で表現した
2

(2)△ABCの垂心をHとする.
(1)と同様にBから直線CAに
垂線を引き、上の任意の点
Q が表す複素数をzとすると、
Mz-B=ra(z--
が成り立つ
m
3 平面図形と複素数
A
B(B)
20
A(a)
......④
B
C (r)
1Q(z)
(425)
C2-77
motoo
④は直線の方程式
を複素数で表現した
△ABC の垂心は,lとの
交点なので,垂心Hは③と④を同時に満たす点である。
③xa-④ ×βより
a(z-a)-(2-8)=aßr(-)-3(213)
α(z-α)-B(z-B)=aByz
式を整理すると
(a-3)z-(a-3)=(a-B)
より、α-B0 なので、両辺を α-βで割ると,
-(a+B)=ya
もの
P
よって, z=a+B+yより、△ABCの垂心を表す複
素数は, a+B+r
③ ④を同時に満た
すぇ、つまりℓと
mの交点 (垂心)
1
HO
cus
異なる4点A(a),B(8) C(y), D(8) に対して
(i) 直線AB AC が垂直
7-a
が純虚数⇔
β-α
第 5
7-a
7-a
==
B-a
8-a
(ii)直線ABとCD が垂直
β-a
+8yが純虚数⇔
8-7
8-7
β-a
B-a
> C から直線ABに垂線n を引くと,(1)と同様にして直線nは,
=(-1)
と表せる.
to stato sto
=29
③と⑤を連立して交点を求めると, z=α+β+y となり 3本の垂線は1点 (垂心)
で交わることを示せる.
(2)の解答ではこの事実を前提として、 2本の垂線の交点より垂心を求めている
-> 右の図において, 0 は △ABCの外心 .
H
1 A(a)
(2)の結果より垂心をHとすると,
H(a+β+y)
・G
一方, △ABCの重心をG とすると,G(a+g+z) より.
B(β)
-1
11x
OH=3OG となり, △ABCの外心, 重心, 垂心は一直線
上に並ぶことがわかる.
-1C(r)
この直線を 「オイラー線」という.
複素数平面において、点A(α) は実軸上に,点B(B)は虚軸上にある。原点か
ら直線ABに下ろした垂線の足をC(y) とする.このとき,yをαとβで表せ
ただし, α≠0β=0 とする.
(室蘭工業大