Question

あ

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。
何かコツや、式変形の対応デッキのようなものがあれば教えてください。それともこれに関してはもう素質や長年の蓄えによるもので、出来ないならもうきついですか？😭よろしくお願いします！！

基礎問
76 MAN AV
44 はさみうちの原理(I)
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ.
(2) 数列の和 Sm=
(1)をnで表せ。
(n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する.
両辺に2をかけて, 22k
ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より)
..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1
よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ.
(3) lim Sm を求めよ.
(1) 考え方は2つあります。
...
1 2
n
(2) Sm =
+
4° 4'
+・・・+
......
②
4"-1
1/Sn=
1
n-1 n
+・・・+
+
......3
4₁
4"-1 4"
② ③ より
3
(IIB ベク4 )
Sn=
+ 1
1
n
-(+)
+...+
n
4'
4"-1
-Sn=
4
1
4"
I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。
II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137
(2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121
S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。
(3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。
bn≦a≦cm のとき
.. Sn=
n
(3)(1)より2">n だから, (2")'>n
.
4">n²=0<<
20<
n 4
4-1
n
lim40 だから、はさみうちの原理より lim
11-∞ n
n
- 4-1
-=0
limb= limcn=α ならば liman = α
→00
11-00
この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま
す. (ポイント)
さらに, lim
lim (14) "=0 より lim.S,=-
16
11-00
9
「ポイント
解答
(1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法)
(x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると
k=0
2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn
n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n
.. 2">n
(解II) (数学的帰納法を使って示す方法)
2">n ...... ①
(i) n=1のとき
(左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ
演習問題 44
極限を求める問題の前に不等式の証明があれば,
はさみうちの原理を想定する
次の問いに答えよ.
(1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと
数学的帰納法を用いて証明せよ。
"k
=215730 (n=1,2, …) とおく。このとき,
(2) Sm=
2
k=1
1 n
3 3+1
(3) lim Sm を求めよ.
11-00
が成りたつことを示せ.
CS CamScanner
第4章

12
79
45 はさみうちの原理 (Ⅱ)
数列{a} は 0<a<3,asi=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...) をみたす
ものとする、このとき、次の(1),(2),(3)を示せ.
(1) n = 1, 2, 3, に対して、 0<a<3
よって, n≧2 のとき,
3-an<1/12 (3-an-1) < (13)"(3-as-2)<...(1)(3-a)
n=1のときも考えて、3-ams (12) (3-a)
第4章
(2) n = 1, 2, 3.
***
に対して, 3-a
(3) liman3
(1)漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、ま
ず数学的帰納法と考えて間違いありません.
(2)これも(1)と同様に帰納法で示すこともできますが、 「S」 を
「=」 としてみると、等比数列の一般項の公式の形になっています。
(3) 44のポイントの形になっています。 ニオイプンプンというところでしょう.
解答
(1) 0<a<3 ••••••① を数学的帰納法で示す.
(i) n=1のとき、 条件より 0<a<3 だから, ①は成りたつ.
(1)のとき、0<a» <3 と仮定すると, 1 <a» +1 < 4
1<√1+a» <2
両辺に1を加えて 2<1+1+α» <3
2<ak+1 <3
よって、 0+ <3 が成りたつ、
(i, (i)より, すべての自然数nについて、 ① は成りたつ
(2) +1=1+1+α 34+1=2-√1+an
(右辺)=-
(2-√1+am) (2+1+am)
2+1+an
(1)より、1<1+a2の両辺に2を加えて 3 <2+√1+an <4
(3) (1),(2)より
0<3-an≤()" (3-a)
1\
ここで, tim{(13) (3-4)}=0 だから,
142
はさみうちの原理より
lim (3-4)=0
liman=3
8818
43 でグラフを利用して数列の極限
を考えました。 今回は、38の復習も
兼ねて, グラフで考えてみます。
(a)
y=x
da
a
y=f(x)
y=f(x)=1+√1+xとy=xのグラフを
かき, α を 0<x<3 をみたすようにとれば,
(am)
2, as, ・・・ と, どんどん3に近づいていく様 70 ad3
子が読み取れるはずです.
ポイント 一般項が求まらない数列{an} に対しても liman は,
次の手順で求めることができる
an のとりうる値の範囲をおさえる
② liman(=α) を予想する
811
③ |an+1-a|≦klan-α|(0<k<1) の形に変形し
て, はさみうち
まず, 左辺に 3-1
をつくると
3-an
2+√1+an
右辺にも 3-α がでて
くる
演習問題 45
x₁>√2, Xn+1=
In2+2
2.1
(n=1, 2, ...) で表される数列 (In) に
ついて,次の(1),(2),(3)を示せ.
両辺の逆数をとって12+vltan</
3
4
3-an
だから、
<1/12(3-am)
(1)√2+n
(2) -√2<(1-√2)
In+1 v
2+1+a
Cs CaniScanner でスキャン
(3) lim.mm=√2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

・0からの発想は大学受験では求められません
・求められても普通の受験では合否に関わりません
・こういう問題での発想ができるかは、
　知識と経験と練習で十分カバーできます
・ここでの変形の多くはここまでの経験で
　すでに獲得している知識や経験でカバーできます

0に行くことを示したいのだから
0に行くものと0に行くもので挟みます
ここで新しく学ぶ知識はこんなものでしょう

2問とも、極限を知りたい式を作る過程で
自然とはさみうちのための不等式がほとんどできている、
ということを読み取ってください
見た目で2問が全然違うと思ったら終わりです
共通項を見ないと

また、小問3つの構成なのだから
一つ前の問題はヒントでしょう
不等式をつくる際に利用します
そこで、どう使うか試行錯誤します

あとは「0に行くもの」にはどんなものがあるのかを
経験的に会得していくことです

あ

何度も回答して頂きありがとうございます！
その場にあるヒントと自分の経験からある程度の見通しを立てていけば不可能な問題はない！という信念で頑張ります