Question

ぴい

解き方を教えていただきたいです🙇‍♂️

x=
37 方程式 13x+31y=1の整数解のうち、xの値が最小の正の数であるものは
=□,y=□であり、xの値が最大の負の数であるものはx= 0, y=口で
ある。
2020 京都産業大

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

ユークリッドの互除法を用いる
31=13×2+5
13=5×2+3
5=3×1+2
3=2×1+1
なので
5=31-13×2
3=13-5×2
2=5-3×1
1=3-2×1
一番下の式に一つ上の式、その式にさらに一つ上の式を順番に代入していく
1=3-(5-3×1)×1=3×2-5
1=(13-5×2)×2-5=13×2-5×5
1=13×2-(31-13×2)×5=13×12-31×5
よって
13×12+31×(-5)=1･･･①が成り立つ。これと
13x+31y=1･･･②から
②-①より
13(x-12)+31(y+5)=0
13(x-12)=-31(y+5)
13と31は互いに素なので任意の整数kを用いて
13k=y+5かつ
x-12=-31kが成り立つ。
よって
x=-31k+12、y=13k-5
この中でxが最小の正の数になるのはk=0のとき、
このときx=12,y=-5となる。
またxが最大の負の数となるのはk=1のとき、
このときx=-19、y=8となる。

ぴい

ありがとうございます！
矢印の部分の式変形の仕方が分からないので教えていただきたいです🙇‍♂️

あ

3-(5-3×1)=3-(5-3)=3-5+3=3+3-5=3×2-5

ぴい

ありがとうございます🙇‍♂️