Question

たたた

写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。
①なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？
②どの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？
③赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証明されたことになるのですか？
以上の３つについて回答おねがいします。

定理4.6 f(x),g(x) が (a,b) 上の微分可能な関数で
lim f(x) = lim_g(x) =+∞
エロ+
f'(エ)
をみたしているとする。 このとき 極限 lim
= = A が存在するならば
x+a+ g'(x)
f(x)
lim
== A
za+ g(x)
が成り立つ。なおこの定理は lim の部分をすべて lim あるいは lim,
+α14
lim におきかえても成立する.
b-
8
◆証明 任意の0<<1に対して,あるδ0が存在し,a<x<a+δに対して
f'(x)
A-< <A+EAKE
g'(x)
が成り立つ。必要なら80をさらに小さくとって,f(x)>0,g(z) >O(a<x<
a+δ) となるようにできる。 コーシーの平均値定理から, a<x<a +δに対して,あ
∈ (+8)が存在し,
f(x)-f(a+8) f'(g)
=
g(x) − g(a+8)
g'(§)
が成り立つ。ゆえに
A-ε<
f(x)-f(a+8)
である. したがって
f(x)
=
+
g(x)
g(x)
である. ここで 9(x) − g(a+6)
= 1
g(x)
g(a+6)
(エ)
f(a+8)
→1 (x → a+),
g(x) − g(a + 8)
f(x)-f(a+δ)g(x)-g(a+8) f(a+8)
9(x) g(x) − g(a+8)
<A+e
価
以
grat
(エ)
0(土)であるから,必要ならばさらにを小さくとることにより1>
g(z)-g(a+6)
f(a +8)
g(x)
>1-ɛ, 0<
<e としてよい。ゆえに
g(x)
f(x)
(A+c) +g>
>(A-) (1-e)=A-e(A+1-c)
g(x)
が成り立つ。よって定理が証明された, 残りの主張も同様の議論で証明できる.