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模範解答は統一感がない(不親切)ですね。答えが求められれば良いという感じがします。
(ⅰ)は以下のように記載されていると、考え方は統一します。(ⅱ)は同様に考えてみてください。
考え方の解説は後に記載します。
考え方①
{1,1,4}・・・₃C₂・₁C₁
{1,2,3}・・・₃C₁・₂C₁・₁C₁
{2,2,2}・・・₃C₃
考え方②
{1,1,4}・・・3!/(2!・1!)
{1,2,3}・・・3!/(1!・1!・1!)
{2,2,2}・・・3!/3!
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解説（具体例）
1,2,3の3種類の目の並べ方について考えてみる。
1が i 個、2が j 個,3が k 個を並べた時の並べ方は何通りか？（i+j+k=n）
■考え方①
nの中で1( i 個)の場所は、ₙCᵢ 通り(1のi個は区別がつかない)
n-iの中で2( j 個)の場所は、ₙ₋ᵢCⱼ 通り(2のj個は区別がつかない)
n-i-jの中で3( k 個)の場所は、ₙ₋ᵢ₋ⱼCₖ 通り(=ₖCₖ=1 … 3は残りの場所1通り)
並べ方は、ₙCᵢ × ₙ₋ᵢCⱼ × ₙ₋ᵢ₋ⱼCₖ 通り
この考え方を問題に当てはめると、
{1,1,4}・・・₃C₂・₁C₁・₀C₀ … 2種類の目しかないので、無理に₀C₀を記載してます
{1,2,3}・・・₃C₁・₂C₁・₁C₁
{2,2,2}・・・₃C₃・₀C₀・₀C₀ … 1種類の目しかないので、無理に₀C₀を記載してます
■考え方②
n個が全部異なる種類であれば並べ方は、n!通り
1(i 個)は区別がつかないので、i!の組み合わせは減らす(除算)する必要がある
2(j 個)は区別がつかないので、j!の組み合わせは減らす(除算)する必要がある
3(k 個)は区別がつかないので、k!の組み合わせは減らす(除算)する必要がある
並べ方は、n!/(i!×j!×k!) 通り
この考え方を問題に当てはめると、
{1,1,4}・・・3!/(2!・1!・0!) … 2種類の目しかないので、無理に0!を記載
{1,2,3}・・・3!/(1!・1!・1!)
{2,2,2}・・・3!/(3!・0!・0!) … 1種類の目しかないので、無理に0!を記載
■コンビネーションの使い方
基本的は、コンビネーションで考るとよいかもしれません。
並べるもの(n個)がすべて区別がつくときは n! 通りですが、
n!=ₙC₁・ₙ₋₁C₁・ₙ₋₂C₁・…・₁C₁ と同じです。
コンビネーションで表せます。（すべて区別がつくときは n!とするのが普通ですが）
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説明が長くなり、混乱させてしまったら、ごめんなさい
遅くなってしまいすみません。ご回答ありがとうございます！詳しくてわかりやすかったです！