Question

なごみ

合成関数の微分公式についてなのですが、普段は分数式のように扱えるが、扱えない時があると聞いたことがあるのですが、どういう時か忘れてしまったので教えてほしいです！抽象的な質問になってしまい申し訳ないです。

Answer 1

フラッグ

合成関数の微分公式の、高校数学の教科書に載っている証明は、まずΔy/Δx=Δy/Δt✖️Δt/Δxと変形し、Δx→0とするものですが、この論法には大きな欠陥があります。
Δt=0となる場合はどうするか？小学校の算数で「0で割ってはいけない」と学びましたね。高校数学に登場する関数で、Δt=0となるような関数は殆どありませんが、ご参考までに、Δt=0というのが問題になる関数を紹介します。
f(x)=(x^2)sin(1/x^2) (x≠0)
f(0)=0
なお、合成関数の微分公式の厳密な証明を御所望なら、私が教えることも可能ですが、教科書に書いてないだけあって、相当に難しいです。欲しい場合は、よほどの覚悟をもってリクエストして下さい。

フラッグ

さっきは煽ってしまって(？)ごめんなさい🙇‍♀️もし「厳密な証明」が不要、もしくは、今はまだついていく自信がないという場合は、ご無理をなさらないでくださいね。