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これはいわゆる｢定数分離｣の問題ですね。両辺をe^xで割ると右辺にはaのみが残り左辺は(x²－3)/e^xというxの関数になっています。ここで、y＝f(x)＝(x²－3)/e^xと置きます。1度考えて欲しいのは、問題は右辺にあるaの値によって解が変わるということです。簡単な例で言うと、g(x)＝x²という式があるとします。x²＝aという方程式はy＝x²、y＝aのグラフを書いてもらえば分かりますが、y＝aという直線の位置によってxの解というのは変動しますね。つまりaの値によってxの解は異なりますよね？f(x)やg(x)という関数は違えど、今回の状況設定はこれと全く同じですよね？ゆえに、この問題はy＝f(x)とy＝aが異なる2点で交われば良いわけです。ですから、f(x)を微分してグラフを書いていきます。正確なグラフを描くためにx→∞などを考え漸近線を調べます。その時にそれを使います。急いで書いたので、分かりにくい部分があれば聞いてください！
x→0で0というのは正しいです。しかし今回の場合はわざわざx→0の極限を考える必要はなく、ただ単にxに0を代入するだけで良いですね。数ⅲレベルの関数でしたら、グラフを書く時にx→∞とx→－∞の極限は基本的に調べます。それ以外の点の極限を調べる必要があるのは、その点が定義域外の場合です。例えば(e^x)/xの定義域はx≠0ですからxに0は代入できません。したがってx→0を考えることでどの値に近づくのかを吟味する必要があるわけです。今回はx＝0は定義域内の点ですから、x→0の極限を調べる必要がないわけです。それではx→－∞について考えましょう。x→－∞の時x²→∞ですね(2乗なので－は相殺されます)。また、e^－xはx→－∞のとき、－x→∞よりe^－x→∞と分かります(形式的に書くとe^∞ですから当然∞です)。ゆえにx→－∞のときx²・e^－xは∞×∞なので実は0でなく正の∞に発散しますね！
なるほど！分かりやすかったです！最後に質問なのですが、与えられた極限の式(今回の場合はx→+∞)と逆向き(？)の極限(x→-∞)を考える時は、与えられた極限の式の極限値(0)と同じになるとは限らないから調べる必要がある、ということでいいのでしょうか？
まあそうですね。x→∞とx→－∞の極限が一致する保証はどこにもないですから、当然両方調べます。実際f(x)＝xはx→∞でf(x)→∞，x→－∞でf(x)→－∞です。
ありがとうございます！解法は理解できましたが、漸近線を調べる時、与えられたこの式のx→+∞の部分をx→-∞にしたときも0になるのですか？また、x→0にした時は0²e^(-0)で0になると考えていいのですか？