Question

えむ

解説の（）でくくっている部分の点Gは線分FI上を動くというところがわかりません、
解説お願いします🙇‍♀️

Z5 四面体 OABCにおいて, OA=OB=OC=AC=1, AB=BC=3 である。 辺BC
を12に内分する点をDとし、線分 OD を 3:1 に内分する点をEとする。また,点Eか
ら直線ABに引いた垂線と直線AB との交点をHとする。さらに,OA=d, OB=b,
OC = c とする。
(1) OE を用いて表せ。また内積の値を求めよ。
(2) OH を を用いて表せ。
(3) 線分 EH上の点をPとし, △OAP の重心をGとする。 点Pが線分EH上を動くとき,
(配点 40 )
点Gが描く線分の長さを求めよ。

(3)
© ・ の値を求めることができた。
Dc・α の値を求めることができた。
●EH・AB を sを用いて表すことができた。
Fsの値を求めることができた。
G OH を a, L を用いて表すことができた。
であるから
147
以上よ
解法の糸口
点 P は線分 EH 上にあるから, OP = (1-tOE +tOH(t は 0≦t ≦1 を満たす実数)と表すことがで
らに,△OAP の重心が G であることから,(1),(2)の結果を用いて, OG を t, a,b,c を用いて表す。
が 0≦t≦1 の範囲で動くことから, 点Gが描く線分に関しての方向ベクトルを求める。
点Pは線分 EH 上にあるから
OP= (1-tOE +tOH (tは 0 st≦1 を満たす実数)
と表される。
OP = (1-1)(6+1)+(+1)
a+
= 1½³½ ā² + ( 1/1 + ½ ²) 6 + ( — — — — 4 ) c
さらに,OAP の重心がGであるから
-76-
Z

うにして
=OC=AC=
三角形であるか
OG = OA+OF
3
- {(1+ 1) + (½ + ½ )+(-)}
DC cos A
2
cos60°
1+1/+
1
-
c+t
a+
12
18
12
であるから
OF = 1+1 6+
1+1/+1/20
で定まる点をFとおき
u=
a+
1-1/+116-112c
18
とおくと
OG = OF +tu
重心の位置ベクトル
△ABCの重心をGとすると
OG =
OA + OB + OC
3
△OAB の重心の場合
OG
00 + OA + OB
3
OA + OB
3
と表される。
また,点Pが線分EH上を動くとき, tは 0≦t≦1で変化するから,
OI = OF + u で定まる点をⅠとおけば,点Gは線分FI上を動く。
よって, 点Gが描く線分の長さは
FI=|2|=|40+26-3
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Gは点Fを通り
を方向ベク
トルとする直線上にある。
■FI=OI-OF =
ここで
4a+26-3c12
=16a2+462+9+16a 6-126.c-24 ca
=16×1°+4×1 +9×1+16×(-1/2)-12×(-1/2)-24×1/2
=15
であるから, 4+230 より
|40+26-36|= √15
以上より, 求める長さは
√15
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