Question

Zn茶

高次方程式と虚数解の問題です。
解を代入するところまではわかったんですけど，その後の整理の仕方がわかりませんあしたてすとです😿

第2章 複素数と方程式
例題9 高次方程式と虚数解
bは実数とする。 3次方程式-2x+ax+b=0 が 2+i を解に
もつとき、定数a, b の値を求めよ。 また、 他の解を求めよ。
考え方
方程式 P(x) = 0 がαを解にもつ⇔P(α)=0
解答
2+iが解であるから
整理して
g
(2+i)-2(2+i)+α(2+i) +b=0
(2a+b-4)+ ( a +3) i = 0
a,bは実数であるから, 2a+b-4, a+3 は実数である。
方程式に x=2+i を代入する。
▼ iについて整理する。
よって
2a+b-4=0, a+3=0
▼ A+ Bi=0 A=0, B=0
これを解くと
a=-3,b=10
このとき, 方程式は
x-2x²-3x+10=0
左辺を因数分解すると
(x+2)(x²-4x+5)= 0
因数定理を利用した。
したがって
x=-2, 2±i
以上から
a=-3,b=10, 他の解は
-2, 2-i
[参考]
例題9において、 2つの解 2+i, 2żは互いに共役な複素数である。
ま
□(1)
応用
一般に,係数が実数であるn次方程式の解の1つが虚数 a + bi ならば,それと共役な複素数
a-bi も解であることが知られている。
□114 a, b は実数とする。 3次方程式ペーx+ax+b=0が1-2i を解にもつとき、定数a,
の値を求めよ。 また, 他の解を求めよ。
(1-2η)3-(1-2)+a(1-2℃)+b=0

高二 数ii 方程式 高次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みかん🍊

・書いてある式を一度展開する
・展開したものをiのつくものとつかないもので分け（） でくくる　iは（）の外
・（）内からaとbを求める
・a、bそれぞれを方程式に当てはめる
あとは普通に三次方程式を解くだけです
分かりづらかったらすみません🙇‍♀️

Zn茶

ありがとうございます！実践します🙌🏻

Answer 2

長尾大翔

もちろんその計算を地道にやるのもある意味大事です。しかし、今回の問題のポイントはa,bが実数であるということです。ここでポイント
実数係数方程式において、ある虚数解がその方程式の解となる時その共役な虚数も解となる。です。
ですから、そんな面倒な計算をしなくて良いのです！！

Zn茶

なるほど、！計算しなくてもできるんですね🙀

長尾大翔

しなくてもできるではなく、したら受験では落ち、定期テストではつみます

長尾大翔

Fight!!