(1)第1群には項が1個、第2群には項が2個、第3群の項には項が4個…第k群には項が2^(k-1)項存在する。
よって第k群の最後の項までの項の個数は
1+2+4+…+2^(k-1)=｛(2^k)-1｝/(2-1)=｛(2^k)-1｝個
第n群の最初の項の項数は『第n-1群の最後までの項の個数+1個』で求められる。
よって、第n群の最初の項は(｛2^(n-1)｝-1)+1番目の項、つまり｛2^(n-1)｝番目の項。
次に、m番目の項の数字が何になっているかを求める。
この数列は全ての奇数を並べているので、m番目の項の数字は2m-1である。
以上のことから、第n群の最初の項は｛2^(n-1)｝番目の項であり、その数字は2｛2^(n-1)｝-1つまり、(2^n)-1となる。
(2)第n群に含まれる奇数の和を求める。
(1)より第n群の最初の項は｛2^(n-1)｝番目の項であり、その数字は(2^n)-1。
(1)より第n群の最後の項は｛(2^n)-1}番目の項であり、その数字は2｛(2^n)-1}-1つまり{2^(n+1)}-3。
よって、第n群の項数は｛(2^n)-1}-｛2^(n-1)｝+1={2^(n-1)}(2-1)={2^(n-1)}。
第n群に含まれる奇数の和は初項(2^n)-1、末項{2^(n+1)}-3、項数{2^(n-1)}の等差数列の和なので、その和は
(1/2)［{(2^n)-1}+({2^(n+1)}-3)］{2^(n-1)}=(1/2){(2^n)(1+2)-4}{2^(n-1)}=3{2^(n-1)}²-2{2^(n-1)}=3{4^(n-1)}-(2^n)
(3)157は数列全体で見ると何番目の項なのかを求める。
2m-1=157よりm=79なので、157は数列全体でみると79番目の項。
79番目の項が第何群の何番目の項なのかを求める。
(1)より第n群の最初の項は｛2^(n-1)｝番目の項なので、2^(7-1)=2^6=64、2^(8-1)=2^7=128より、79番目の項は第7群にあるとわかる。
79-64=15なので、79番目の項は第7群の1番目の項よりも15個遠い項。つまり第7群の16番目の項とわかる。
