Question

カイ

整数の問題なんですが解説の四角で囲った部分が理解できません、方針から見当がつかないので教えてくださると助かります

例題 292 有理数が整数となる条件
(1)
35
55
X,
12
42
(2)
n2
223
xがともに自然数となるような最小の有理数 x を求めよ。
n¹
がすべて整数となるような最小の自然数nを求めよ
250'256'243
思考のプロセ
m
有理数xx=
n
条件の言い換え
(mとは互いに素, n≠0)
mが既約分数
n
55 m

例題
284
(1)x=
772
72
35
35m
55
55m
x=
x =
12
12n'
42'
42n
(mとnは互いに素な自然数, n≠0) とおくと
1242xがともに自然
数であるからx>0
これより、mはともに
正と考えてよい
この2数がともに自然数となるときは12と42の公
倍数, nは35と55の公約数である。
よって,xが最小となるのは, mが12と42の最小公倍
数, nが3555の最大公約数となるときである。
1223,42=2･3･7 より m=22.3.7 = 84
分子が小さいほど
た、分母が大きいほど、
xは小さくなる。
35 = 5・7,555.11 より
n=5
したがって 求める有理数 x は
x=
85
84
(2) 250 = 2.53, 256 = 28, 243 = 35 5,
nは2.5° の倍数であるから, nは2･52 の倍数,
nは2の倍数であるから, nは23の倍数
nは3の倍数であるから, nは3の倍数である。
これらを満たす最小の自然数nは, 252 2 3 の最小
公倍数であるから
n=23.32.52 = 1800
各数の分母を素因数分解
する。
n²=2.5g
右辺が平方数となるとき
自然数kを用いて
a = 2.5-k²
このとき,=2・5%
よりn=2.5k