Question

rs

どうして数学的帰納法を使わなくて良いんですか？

解説ではn＝6までの場合を調べただけであって、その後も規則性が成り立つかどうかは分からないですよね。

数学的帰納法を使う時と使わなくても良い時の違いを教えてください

t
C
のx
重要 例題
関数を回合成した関数
171
x=1, x=2のとき, 関数 f(x)=
00000
2x-3
x-1
について,
f2(x)=f(f(x)), f(x)=f(f2(x)),......, fn(x)=f(fn-1(x)) [n≧3] とする。
このとき, f2(x), f(x) を計算し, fn(x) [n≧2] を求めよ。
O
指針 f(x) を求めるには, f2(x), f(x),
基本98
......
と順に求めて、その規則性をつかむ。
この問題では, (fofk) (x)=x, つまりfk+1(x)=x [恒等関数] となるものが出てくるから,
f(x) は x, f (x), f2(x),......, f(x) の繰り返しとなる。
なお,f2(x), fs(x),.... と順に求めた結果 f(x) の式が具体的に予想できる場合は、
予想したものを数学的帰納法 (数学B)で証明する,という方針で進めるとよい(→下
の練習 100 )。
3
1

ƒ2(x)=ƒ(f(x))=2f(x)-3
2.
f(x)-1 2x-3
2x-3
-3
x-1
=
-1
x-1
2(2x-3)-3(x-1)
x-3
=
2x-3-(x-1) x-2
==
2.-3
-3
f(x)=f(f(x))=
x-2
x-3
-1
x-2
2(x-3)-3(x-2)
====
x-3-(x-2)
=X
よって
f(x)=f(f(x)) = f(x),
fs(x)=f(f(x))=ƒ(f(x))=f2(x),
f(x)=f(f(x))=ƒ(f2(x))=f3(x),
ゆえに,fn(x)=fn-3(x) [n≧5] が成り立つ。
すなわち, m を自然数とすると
n=3m D
fn(x)=x;
n=3m+1のとき fn(x)=2x-3
;
x-1
n=2,3m+2のとき f(x)=x-3
x-2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

f3(x)=xだから、その次のf4(x)=f(x) となりますね。
ということは、3回ごとに元に戻るということです。
これは3回ごとの循環してるので、数学的帰納法を使うまでもなく(nのときからn+1を推測するまでもなく)、直接的に関数の式を定義できます。

rs

ありがとうございます。

数学的帰納法を使うまでもない、というのが腑に落ちないです。数学的帰納法ではanの式を推測して証明する、というのがありますがこれだと証明が必要なのもわけが分かりません。

かき

数学的帰納法は、直接的に一般項の式を算出できず、おそらくこの式になると推測できる場合に、その式でn=1,2 やn,n+1などの場合に成り立つことを示して、一般項を推測するというものです。

この問題は、3項目ごとに循環して、最初のf(x)に戻ることが示せるので、f1, f2, f3を求め、それ以降はこれら3つのどれかになることが示せるため、
一般項を直接求めることができます。

わかりますか？

rs

わかりました！ありがとうございます！