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基礎問
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133 格子点の個数
3つの不等式 x≧0, y≧0, 2x+y≦2n (nは自然数)で表さ
れる領域をDとする.
(1) Dに含まれ, 直線 x=k (k= 0, 1, ...,n) 上にある格子点
(x座標もy座標も整数の点) の個数をkで表せ。
(2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ .
精講
計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります. こ
れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。
格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数
え上げることもできますが,このように,nが入ってくると数える手段を知ら
ないと解答できません.その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。
ポイントによれば,直線 y=kでもできそうに書いてありますが、こちらを
使った解答は (別解) で確認してください.
(1) 直線 x=k上にある格子点は
(別解)直線y=2k (k=0, 1, ...,n) 上の
格子点は(0,2k), (1,2k), ..., n-k2k
(n+1) 個.
注
2n
y=2k
また,直線 y=2k-1 (k=1, 2,...,n) 上の
格子点は
n
Oi-k
02k-1), (1,2k-1), ..., (n-k, 2k-1)
(n+1) 個. よって, 格子点の総数は
2n
(n+1)+(n-k+1)
k=0
k=1
y-2k-1
2Σ(n-k+1)+(n+1)
=n(n+1)+(n+1)
=(n+1)(n+1)
=(n+1)2
\n
On-k+
y=2k と y=2k-1 に分ける理由は直線 y=k と 2x+y=2n
の交点を求めると,(n-212 k) となり,n-1/2 がんの偶奇によって
整数になる場合と整数にならない場合があるからです。
解答
Y
(k, 0), (k, 1),
2n
x=k
(k, 2n-2k)
ポイントある領域内の格子点の総数を求めるとき
の (2n-2k+1) 個.
2n-2k--
注 y座標だけを見ていくと, 個数がわかります.
(2)(1)の結果に,k= 0, 1, ..., n を代入して, すべ
て加えたものが,Dに含まれる格子点の総数.
0
I. 直線 x=k (または, y=k) 上の格子点の個数を
k で表す
Ⅱ.Iの結果について Σ計算をする
y=-21th
..
(2n-2k+1)
=24721
k=0
◆ 等差数列
2
{(2n+1)+1}
等差数列の和の公式
演習問題 133
=(n+1)2
第7章
注 計算をする式がkの1次式のとき,その式は等差数列の和を表
しているので、12/27 (atan) (112) を使って計算していますが,もち
ろん, 2n+1)-2々として計算してもかまいません。
k=0
k=0
放物線y=x2 ･･･ ① と直線 y=n² (nは自然数) ...... ②
がある. ①と② で囲まれた部分 (境界も含む)をMとする.このと
次の問いに答えよ.
(1) 直線=k (k=1, 2,...,n) 上のM内の格子点の個数をn,
んで表せ
写真 (2) M内の格子点の総数をnで表せ.
