Question

lua

高2数学の問題です。
写真の2枚目が答えなのですが赤いラインを引いているところの変形がわかりません。なぜ2分の1が出てきているのでしょうか？教えてください🙇🙇🙏

81 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。
(1)1+4+7+…+(3-2)=1/23n(3n-1)

去して
+1=2,
も成り立つ。
したがって,一般項は,=4"-1-1
81 証明すべき等式を(A)とする。
(1) [1] n=1のとき
左辺 = 1,
右辺 = 12・1・(3-1-1)=1
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
1+4+7++(3k-2)=1/23k-1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A)の左辺は
1+4+7 + ...... (3k-2)+(3(k+1)-2)
= k(3k-1)+(3k+1)
M3k-1)+2/3k+1))
- 12/2(34' +5 +2)- 12/21(+1) +2
n=k+1のときの(A) の右辺は
1/12 (+1)(3k+1)-1)=1/12(4+1×30+2)
よって、n=k+1のときも(A)が成り立つ。
[1], [2] から すべての自然数について(A)が
成り立つ。
が成り
(A)の
1-
16 16
=4

Answer 1

こたつみかん

数学的帰納法のポイントは
「n＝k（kはある自然数）に対して、
　証明したい命題の成立を『仮定する』」
というところにあります。

数学的帰納法は、命題が
①n＝ 1で成立
②n＝kでも成立と仮定して、
n＝k＋ 1の場合も『仮定を用いて』命題が
成立する事を証明する
という①②を経て、証明されます。
逆に言えば、数学的帰納法では必ずn=kの場合の『仮定』が何かしら必要になります。それを用いて、n=k+1の場合の式をいかに変形するか。それがポイントです。

今回は、直前で
n＝kのとき、命題（A）の成立を仮定すると、
1＋4＋…＋（3k -2）＝½k(3k-1)
となるため、これを用いて式変形したのです。

Answer 2

てと

ポイントは2分の1ところではないです！

直前に1+4+7+・・・+ (3k-2)を丸ごと1/2k(3k-1)と置いていたんですよ！