Question

ひきわり

微分方程式についてです。
写真の問題で2枚目のように考えたのですが、答えと考え方も答え自体も異なりました。

自分の考え方でいけなかったことは何なのでしょうか？よろしくお願いします🙇

[3A-04] 次の1階連立微分方程式の一般解を求めよ。
dx
=2x+2y
dt
dy
=x+3y
dt

3A-4
=
x+3y. (x+y+2g
dy dt dy x+3y.
==
y
2
+
dz dz dt
2x+2y
2(x+y)
2
x+y
z
1+ y
20
ここで、オキロで4=uとすると、y=ux,
dy
u
dz
=ux + U =
ux=
U-2uLitu
u-zu-242
-24²-u -u (24+1)
=
=
=
2(1+4)+
2(1+u).
2(1+4)
2(1+4)

(-1)(t-2)=0
よって、一般解は
y=Ciex+Cze
次に
d²y
dx2
2
以上より、 求める一般解は
(C1, C2 意定数)
x=Cie'+Cze", y=--
dy
dx
+2y=x の特殊解を求める。
y=Ax+B とおくと
このとき
d²y dy
dx2
-3-
+2y
dx
=0-3A+2(Ax+B)
=2Ax+(-3A+2B)
dy
-=A,
dx
dy=0
dx2
これがxに一致するとすれば
-C₁e' + Cze¹
(C1, C2 は任意定数)
[3A-05] (1階線形)
dy
173
dx -xy=x の両辺にex をかけると
dy
e
dx
2-1222-xye1222=xe1222
'12/22tyle1222=xe1222
(12/22)=x-12x2
J2A=1
. A= B=3
1
2'
1
3
よって,y= 21 4
したがって、求める一般解は
(Cは積分定数)
[答]
1-3A+2B=0
x+- は特殊解である。
y = C₁e' + Cze² + 1 x + 3
2
4
(C1, C2 は任意定数)
[3A-04] ( 1階連立微分方程式)
よって
ye1222=fxe1dx=1+C
4
したがって
y=(-e²+C)e²=-1+ Ce²
(注)定数変化法で解いてもよい。
[3A-06] (1階線形, 2階線形定数係数)
・〔答〕
(1) xy'+y2=0 より
xody=-x2
dx
1 dy
1
y2dx
x3
両辺を xで積分すると
dx
-=2x+2y
dt
dy
-=x+3y
dt
1 dx
①より, y=
-x
2 dt
dy 1 d²x
dx
.
dt 2 dt² dt
①
Sdy=-Sdx
1
1
1+2Cx2
+C=
y 2x2
2x2
よって, 求める一般解は
これらを②に代入すると
1 d²x dx
1 dx
=x+3
-x
2 dt2 dt
2 dt
d²x
dx
dx
-2- -=2x+3
2x
dt2
dt
dt
d²x dx
dt2 dt
-5- +4x= 0
特性方程式は, u²-5u+4=0
∴
(u-1)(u-4)=0
よって x=Ce'+Cze4t
であり
y=
1 dx
2 dt
x
. u=1,4
[1-0-82]
= (C₁e' + 4 C₂e¹) - (C₁e' + C₂e")
y=-
2x2
1+2Cx2
(Cは任意定数)
・〔答〕
(2) まず y"+2y′-3y=0 の一般解を求める。
t2+2t-3=0 とすると
(t+3)(t-1)=0 .. t=-3, 1
よって, y"+2y′-3y=0 の一般解は
y=Cie-3x+C2e* (Cl, C2 は任意定数)
次に y"+2y′-3y=e の特殊解を求める。
y=Aex とおくと
y'=2Ae', y"=4Aex
このとき
y"+2y′-3y
=4Ae+2・2Ae -3Ae=5Ae2x
そこで 5A=1 とすると, A=-
Cie+ C₁e"
2
よって,y=-
e2x
5
は y"+2y′-3y=ex の特