Question

みみ

1回微分だけで答えが求められないのは何故か教えて頂きたいです。

練習 関数 f(x)=excosx(x>0)について,f(x)が極小値をとるxの値を小さい方から順に X1 X2
④ 186
とすると,数列{f(x)}は等比数列であることを示せ。また,f(x) を求めよ。
n=1
f(x)=-e
cosxtex(−sinx)=-e-*(sinx+cosx)
==
-√2e-* sin(x+4)+(0+
←三角関数の合成。
f”(x)=e*(sinx+cosx)−ex(cosx−sinx)
=2exsinx
←を微分。

k=2(n-1)のとき
3
4
3
4
よって,k=2(n-1) のとき極小値をとるから
sin(2*+kx)=sinx>0 in (****)>0
f'(x)=0 とすると
x>0であるから
sin(x+1)=0
x=
3
famil
数学II239
=
xl は整数)
から
この式で1-1をんにお
=л+kл (k=0, 1, ...) *5x=-3x+(1-1)*
以下では,nは自然数とする。
k=2n-1のとき
3
……)
3
き換える。
Sol
sin(x+kx)=sin*<0 (****)<+-****
←f'(x) =0を満たすx
の値について,f" の
符号を調べる。
ゆえに(+k) <0
ゆえに
+kл>0
←f'(a)=0,f" (a) > 0
加 ベクト 3
-(
xn=π+2(n-1)n
08/04
⇒f (a) は極小値。
ここで(n-1)の形にしたいので上も2ではなくて
f(x)=e122+2(1)
ここでf(x)=ex+2=gel cos (1242x+2(n-1)(x)
2-1の形にする。
3
1
←COS
Sol
==
>0
/2
ize(-2x)-1
goo
Solarn-1 の形に変形。
√2
(2)よって, 数列{f(x)} は初項 - heir 公比 e-27 の等比数
1
3
/2
->
公比e-2 の等比数=ar
x mil
は
{n}
列である。
初項α,公比rの等比数
|列。
公比e-2" は 0<e-2" <1であるから, 無限等比級数 f(x) は
n=1
収束し、その和は
8
Σf(xn)=
n=1
1
5
√2
21
=
1-e-27
2 (e-1)
←
-1
皆
(初項)
881@
1 - (公比)