Question

みみ

積分法の問題を教えて頂きたいです。（2）でx=1の時（1）の和を微分したものではなかったのでxが1出ない時の計算も和を微分しては行けないのではないかと思ったのですがなぜ微分できるとわかったのでしょうか？教えて頂きたいです。

G
EX √ (1) 和 1+x+x2+・・・+x” を求めよ。
⑨ 117 (2) (1) で求めた結果をxで微分することにより,和1+2x+3x2+......
n
・・+nx"-1 を求めよ。
n
(3)(2)の結果を用いて, 無限級数の和を求めよ。 ただし, lim=0であることを用い
てよい。
n=1 2n
2n
[類 東北学院大 ]
(1)x≠1のとき,求める和は初項1,公比xの等比数列の初項か ←公比≠1.公比=1で場
合分け。
ら第n+1項までの和であるから
1+x+x2+······+x=.
1-xn+1
1-x
①
←
x=1のとき 1+x+x2+......+x"=n+1
(2)x=1のとき、 ①の両辺をxで微分するとI-
1+2+3x²+....+nx"
n-1
-(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1)
(初項){1-(公比)項数}
1-(公)
←1x(n+1)
←(x)' 0-1
・(-1)(*)←(%)=o_ur
(1-x)2
よって
1+2x+3x2+......+nx"
_n-1=
nxn+1−(n+1)x +1
(1-x)2
② ←)の右辺の分子を整
x=1のとき
1+2x+3x2+ +nxn-1
理。
(x)=(x)
1
(笑)=1+2+3+･･･ •+n=⋅
2
(+1)
n(n+1)(x)(x)=
(3)x=1/2 ②の両辺に代入すると
=(x)
n
比部分は
2 3
n
1+
+
+…+
=
2
22
2n-1
2n+1
2n
k
n
n+1
両辺を2で割ると
IM
=
k=1
ゆえに = 2(12/2
nk
n
.
よってm=lim
k=12k
こ
k=12k
8
2n+1
n 1
-
2n 2n 2n
n
****lim-lim2(+1)
n=12n
n→∞
=2
20
2"
2+1)
n
01
n+1 +1)*(-
n=1 27
12 であることに注目し
(x)0
2
x=1/2 を代入。
nk
←部分を求めた
k=12k
-
+1
n
=
ことになる。
0=
22"
D
+2(-0-0-0+1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

話が逆です
x≠1のとき特別な理由があって微分できる、のではなく
微分できるのが当たり前なのです
和の微分は微分の和という特性があるからです
(f+g)' = f'+g'
と教科書に書いてあったはずです
だからx≠1のときも、
和を微分すると微分したものの和になるのです

逆にx=1のとき微分できないほうが特殊です
それはそうで、関数に特定の数を代入すれば
単なる数になります
xによらない単なる数を、xで微分すれば、
みな0になってしまいます

たとえば
「x²を微分すると2x」ですが、
ここに1を代入した
「1²を微分すると2×1」は成り立ちません

これは憶測ですが、そもそも、nで微分しませんでしたか？
xで微分する話だったはずです
nはそもそもは定数です
x=1のときは
(1)n+1
(2)(1/2)n(n+1)
ですが、これらは数です
これを突然nで微分してはいけません

Answer 2

GDO

まずは（１）から説明すると、
和を合計したら、分母が（１－x）になっているので、”これはx=1のときはダメな奴だ”と
あとから気づいて、ｘ=1、x≠１に場合分けしたと考えるのがよいでしょう。
いろいろ勉強している人は、計算するまえに気づいて、場合分けしていると思います。

質問本題の（２）ですが、微分可能かどうかは、関数が連続かどうかです（数Ⅲで学ぶ）。
明らかに、x=1のときには連続性がなく、他の値では連続性があります。
このため、（１）の和はx≠1なら微分可能ですが、x=1では部分できないのです。
このため（１）の結果を利用して、（１）と同様にx≠1とx＝1に場合分けて計算したのです。

ただし、この練習問題は、”あまり考えすに（１）と同様に場合分けして微分してみてください”
と言っているようにも思います。
数列を勉強している人なら、1＋2x＋・・・+ nx^(n-1) の和は、見たことある
でしょうから、数列の和が微分と同じになっていることに気づかせる問題のように思います。