Question

みみ

数列の問題で（3）を（1）（2）の誘導なしで解きたいのですがどのように考えれば解放が思いつくのでしょうか...？難関大学だと誘導無しで出てくることも有り得るのではないかと思ったので教えて頂きたいです。

EX
22
異なるn個のものから個を取る組合せの総数を Cr で表す。
(1)2以上の自然数kについて,k+3C4=k+4C5-k+3C5 が成り立つことを証明せよ。
(2)k+34 を求めよ。
k=1
(1) k2のとき
=
k+4C5-k+3C5
n
(3)(+6k) を求めよ。
k=1
(+4)(k+3)(k+2)(k+1)k_(k+3)(k+2)(k+1)k(k-1)
5!
5!
08
[静岡]

(k+3)(k+2)(k+1)k{(k+4)-(k-1)}
(k+3)(k+2)(k+1)k•5_(k+3)(k+2)(k+1)k=k+3C4
5!
X3
5!
4!
よって,k+3Ca=k+4C5-k+3C5 が成り立つ。
(2) (1) から, n≧2のとき
k=1
n
+3C4=4C4+*+3C4(*)=4C4+(k+4C5k+3C5)
k=2
=1+(6-5C5)+(766 −6×5) + (866-786)
+....+(n+45-n+3C5)
=1-5C5+n+4C5=n+4C5
(n+4) (n+3)(n+2)(n+1)n
-(+
+
← 分子において、
数(k+3)(k+2)(1)
でくくる。
参考 1≦ran-1,
n≧2に対して、
Cr=n-Cr-in-C
が成り立つ。よって、
|k+aCs=k+3Ca+k+aCs
から
k+3Cs=k+C5-k+3C6
(*) (1)の結果を利用
することを考え,k=1
のときと2のときで
分ける。
すなわち
5!
1
k+3C4=120
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
また,①において, n=1 とすると
(x)=+3C4=4C4=1,
①
(0)
(0) (ES) (0) (0,0)
(右辺) =
1
･1(1+1)(1+2)(1+3)(1+4)=1
120
ゆえに, n=1のときも ①は成り立つ。
よって
_n+aCs=12n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ((+税) 1
(3) +3C4
(k+3)(k+2)(k+1)k
1
=
4!
24
-k(k+1)(k+2)(k+3)
1
=
24
(k2+3k)(k+3k+2)
+3
+1
(+2) を組み合わせ
=
24
(k+6k³+11k²+6k) 2
ゆえに,+6=24k+3C4-11k2-6k であるから
_(k+6k)=2(24k+3C4-11k2-6k) *nd
k=1
n
k=1
(2)から(24k+3C4-11k2-6k)
=
=
k=1
1
=24· -n(n+1) (n+2)(n+3)(n+4)
120
-11.11n(n+1)(2n+1)-6.1/23n(n+1)
30
-n(n+1){6(n+2)(n+3)(n+4)-55(2n+1)-90}
n(n+1)(6n3+54n²+46n-1)
30
n
よって
k=1
1
(k+6k³)= n(n+1)(6n³+54n²+46n-1)(s
30
共通の式k+3k
が現れ, 展開しやすく
る。
である点を 格子点
13

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ミッキー様

これでいかがですか？？
Σk^4を自分で導くことにはなりますが、導出の仕方はΣk^3と同じです。
地道に計算すれば誘導なくてもいけますね。

みみ

(k+1)^5から計算くださっていますが、^4から求めることも可能でしょうか...？