Question

瀬名斗

二次方程式の解の存在範囲に関しての自治医大の問題なんですが、自信がなく偶然答えがあってしまって自分の解答が正確か分かりません。模範解答と照らし合わせましたが、模範解答は何を言っているかわかりません泣
添削またはアドバイス等お願いしたいです。
問題と模範解答、解答を順に載せました。問題と模範解答は一緒の写真にあります。

練習 2次方程式x2+ (2-α)x+4−2a=0 が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつよ
125
うな定数αの値の範囲を求めよ。
[類 自治医大
1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」場合を次のように分けて考えると
よい。
[2] 解の1つがx=-1のとき。
[3] 解の1つがx=1のとき。
[2][3] 以外は -1 <x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ場合であるから,
[1]2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるとき (重解を含む)。
[4]1つの解が-1<x<1. 他の解がx<-1 または 1 <xの範囲にあるとき。
と分ければよい。
f(x)=x2+(2-a)x+4−2aとし, f(x) = 0 の判別式をDとする。
[1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にある (重解を含む)
ための条件は y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分
と, 2点で交わる (接する場合も含む) ことである。
よって,次の (i)(iv) が同時に成り立つ。
(i) D≧0
[1]
[4]
に
1
K
求
|別解
(i) f(-1)>0
I (iii) f(1)>0
(iv)
-1<軸<1
(i) D=(2-α)2-4・1・(4−2a)=α+4a-12
=(a+6)(a-2)
D≧0 から
(a+6)(a-2)≧0
ゆえに
a≤-6, 2≤a
①
(ii) f(-1)=-a+3
f(-1)>0 から
-a+3>0
よって
a <3
②
(iii) f(1)=-3a+7
f (1) > 0 から
-3a+7>0
7
よって
a<
③
3
+
-1
[1] D=0, (ii), (ii), (iv)
が同時に成り立つとき,
1つの解 (重解) が
-1<x<1の範囲にあ
る。

x
[21
3章
18
数学Ⅰ
―109
(iv) 軸は直線x=
a-2
であるから
-1<<1
2
よって
-2<a-2<2
ゆえに
0 <a < 4 ...... ④
①~④の共通範囲を求めて
2≤a<
-6
3
02734
a
3
ゆえに
a=3
[2]解の1つがx=1のとき
よって
f(-1)=0
-a+3=0
[3] 解の1つがx=1のとき
よって
f(1)=0
-3a+7=0
ゆえに
a=1
[4]解の1つが-1<x<1,他の解がx<-1 または 1<x
にあるための条件は
f(-1)f(1)<0
〕
ゆえに
よって
と
したがって
(-a+3)(-3a+7) < 0
(a-3)(3a-7)<0
7
<a<3
3
求めるαの値の範囲は, [1]~[4] を合わせて
2≦a≦3
[4]
TO
1x
または
T
[3]
┏[1]| -[4]
[2]
7-3
3章
練習
Dx
[2次関数]
a
48
別解 x2+ (2-α)x+4-2a=0 ..... ① とする。
x2+2x+4=α(x+2)
① を変形すると
<a について整理する形。
よって, 方程式 ① の実数解は,
放物線y=x2+2x+4
②と
点 (20) を通り傾きαの直線 y=a(x+2)
の共有点のx座標と等しい。
放物線 ②と直線③が接するとき, ① は重解をもつ。
①の判別式をDとすると
D=(2-α)2-4・1・(4−2a)=a2+4a-12
34
D
③
[2]
接する重解
[1]
=(a-2)(a+6)
D=0 のとき a=2, -6
放物線 ② と直線 ③が
-1≦x1の範囲で共有
点をもつようなαの値の
範囲を図から求める。
2-a
このとき ①の重解は
x=-2
ゆえに,α=2のとき 放物線②と
直線 ③の接点のx座標は
y
x=0
Va=3
② を変形すると
y=(x+1)2+3
直線 ③が点 (1,3)を通るとき
la=2
71
3=a(-1+2)
a=-6
よって
-31
a=3
右の図から求めるαの値の範囲は
2≦a≦3
-2
0
1

NO.
DATE
練 125
f(x)=x+(2-a)x+4-2a=0とすると
①重を含む2つの実数を持つとき
f(x)の判別式を日とすると
Q=j-4a+4+80-16
①②③④の範囲は
<量
②ただけの実数解を持つとき
(リポ(1)<口となるため
(17-3a) (3-0) <0 +1
(30-7)(a-3)<口なので
7
cer
(6
またf(1)=0のとき
=
'+40-12
月より
(a+b) (a-2) 70から
-7-30=0a=号から
このとき一-3=0ま
2
372-2-220なので
(x-1)(3n+2)=0
2-1-3-18x|
~3 T
03-6-032
0
また、平方完眺をすると
原を消すため、a.f...⑦
f(x)=(火)2~4より
またf(-1)=0のとき
2-a
X=-
から
3-0:0
a=3
2
-12-20 ≤1 lint
-2α-2≤2
D'a=4
・・・②
またf(-1)70,(1)70より
fc-11=1+a-2+4-20=3-0
1
f(1)=1+2-0+4-20-7-30
3-azo より a<3 ③
73a70より
acto
このとき、パース-220なので
(x-2)(+1)=0
X=2-1-1ミスミしより
条件を満たすため、A-3.…
①.②目を合わした範囲は、
54
@
4
⑧⑨を命れた範囲は
zsas3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

模範解答を見てもらうと、軸が-1<軸<1となっていますが、質問者さんの回答は-1≦軸≦1となっているので、もしその回答が2つの解が-1<x<1にあるときを求めるという意味で書いたのであれば、少し違和感はあります。
もしその回答が2つの解が-1≦x≦1にあるときを求めるという意味で書いたのであれば、x=1,x=-1で重解を持つ可能性があるため、軸の所は問題ないですが、f(-1)≧0かつf(1)≧0にするとより論理が通っていると感じます。(この場合はわざわざ解がx=1のとき、x=-1のときで分ける必要がないので、その部分は消去しても良いですね。(書いててもバツにはならない))

まぁ長々と書きましたが、正直試験監督はこのレベルのミスは気付かないと思いますので、基本的な理論がちゃんと通っていて、解答も正しい質問者さんの答案なら満点になると思いますよ。

瀬名斗

細かいところまでありがとうございます😭
合っていてよかったです泣
参考にさせていただきます！

Answer 2

赤い彗星

細かいところで、減点があるかまでは、何とも言えませんが、
あなたの解答は、解答例と全く同じ解き方です。
大筋は問題ないと思います。