Question

バナナ🍌

(2)と(3)で写真の丸で囲んである箇所のように場合分けする理由をおしえてください。

例 題 51
次の極限値を求めよ.
sinx
A limxsin X
1
2
lim
X
イタ
考え方 lim
sin x
10
-=1-との違いに注意する.
(3) limxsin
x → 0
1
x
であることに注意する。
lim
(2),(3)それぞれ,このままでは直接求めることはできない。 このようなときは,
(1)x→∞ではあるが、sin 12に着目すると10
うちの原理 (113) を利用する。そのとき,(2)と(3)で考えるxの他の
はさ
が異なることに注意する.
180
180
解答
(1)=t とおくと, x→∞のとき,t→0
見
x
1
sint
よって,
limxsin- =lim -=1
X
「
(2)-1≦sinx≦1より
1 sin x
>0のとき
...①
A
x
Xx
cos x)
2 考えてよい.ている。
x+∞より,x0 と
辺々を x(>0) で割る。
x11
ここで, lim(-1) = lim1=0
x
x xxx
よって、①とはさみうちの原理より, lim Sinx
-=0
ラジ
x-x
x
答える。
(3) -1≤sin≤1.
x
x>0のとき
AOのとき
(3)
ここで,
x+0
1
180
Onie S
mil-
|x≦xin─①
x
sin
xxsin-x
x
lim(-x)=limx=0
x +0
②
lim.x= lim(x)=0niety
x-0
080 したがって, ①,②とはさみうちの原理より,
+0) nie 'di 1
limxsin- lim x sin
x+0
limxsin=0
よって、
* → 0
in
sin s
180
x→0より,x +0 と
x→0の場合を考える.
0ssin 1/11とし
えてもよい.
sin
x200
場ができる
limf(x)=α
x → a
=0
x
*--0
x
1
nie S
x
mil- (
=
(同じ式)
Onia
lim f(x)
xa+0
として考
= limf(x) = a
x-a-0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

京一浪

・（2）について
これは「場合分け」というと少し語弊があります。
「xは絶対x>0だから」という記述のほうがわかりやすいかも。
いまxを正の無限大に飛ばしてるわけですから、当然xは0ではないので、両辺をxで割ることができます。
またxは負の値でもないので、両辺をxで割ることにより不等式の向きが反転するなんてこともありません。
解答の記述ではそのことを主張している訳です。

・（3）について
xを"限りなく0に近づける"とき、これって"限りなく近づけてるだけ"なので、厳密に言うと"0"になることはありませんよね。これが極限の定義の注意すべき点でした。
よってx≠0
（厳密には、「1/xという形で与えられているわけだからx=0のときは、そもそも関数として定義されてない」といった方が適切ですが、極限の定義を確認しておきたかったので敢えて上のように記述しました。なお、「そもそも◯◯という形で与えられているから××で関数は定義されてないでしょ？」という主張は真数条件の発想と同じですね。）
いずれにせよ、x≠0なのでxは正か負のいずれかです。
いま、もしxが正であれば不等式の向きは不変です。
しかし、もしxが負であれば不等式の向きは逆になっちゃいますね。
ここで場合分けの必要性が生まれてきます。

バナナ🍌

ありがとうございます😊わかりやすいです！