Question

奏音

数Ⅰ　関数の最大に関する問題

下の写真の問題（1枚目）についてです。
解説を何度読んでも理解できず、解き方がわかりません。
2枚目、3枚目が解説で赤マーカー部分が答えです。

特に場合分けの（ⅱ）のb=のグラフを書いているところが理解できません。実践部分はどこを取って引いているのでしょうか？

解説の解説、またはより分かりやすい別解があればそれをご教授いただきたいです。
よろしくお願いします

【写真】
1枚目：問題
2枚目、3枚目：解説（赤マーカー部分が答え）

例題
aを定数とし,a≦x≦a+1 における関数f(x)=|x-2.x の最大値をM(α) とする。 M(α) を求め、
ab 平面上に b = M(a) のグラフをかけ。
- TE

最大値は,定義域 a≦x≦a+1 におけるf(x) の増減がわかれば求めるこ
とができる。そのために, y=f(x)のグラフをかいてみればよい (右図)。 し
かし,定義域には文字定数αが含まれるので,αの値に応じて定義域が変わり、
定義域内の f(x) の増減の様子も異なる。 そこで、右図のα βの値を求めて、
α,βの値とαの値との大小で場合分けして求めるのが1つの方法である。 こ
れは各自試してみてもらいたい。
ところで,最大･最小問題で最も大事な点は、最大値・最小値をとるxの値,
言い換えれば,どこで最大・最小となるかである。 どこで最大・最小となる
かがわかれば、後は単なる計算に過ぎないからである。
例題では,定義域の幅がαの値によらず1である。 このことに着目して,aの
値を変化させて定義域を動かしてみると, 定義域内に x=1 を含むときは x=1
で最大, そうでない場合は定義域の両端のいずれかで最大になることがわかる。
そこでmax 記号を活用すれば, グラフをかくことで手際よく処理できる。
< 解答 >
f(x)=(x-1)-1|
であることから, y=f(x)のグラフは右図のよ
うになる｡
定義域の幅はαの値によらず1なので,グラフ
(i)a+1 すなわち,0≦a≦1のとき
M(α)=f(1)=1
01.98 SR ČOK***
y = f(x)
W
2
YA
O
IC
①の答えの例
y=-2xのグラフの軸
より下側の部分を,軸に
「関して折り返したもの。
y=f(x)
YA
a O a+11 B
2β+1c
一般に,y=lg(x)のグラフは、
y=g(x)のグラフの軸より
下側の部分を,x軸に関して折
り返したグラフになる。
②の答えの例
f(x) の最大値を与える座
標の位置。

(ii) a ≦ 0 または 1≦a のとき
M(a) = max{f(a), f(a+1)}
max (la²-2al, la²-1)
(i) における max(la²-2al, a²−1)の値は, ab
平面上にαの関数 6 = α²-2aとb=|α²-1|の
グラフをかき, a ≦ 0 または 1≦a の範囲での
グラフの上下関係から定めることができる。
これより,αの関数 b = M(α) のグラフは右図の豊関のキ
実線部分のようになるから,
la²_
M(α)=1
-2a (a≤
b=|α²-1|
(as 1または1sas l匹の
1+√3のとき
6
1-√3
2
(0≦a≦1のとき)
la-11 (1/8 sas 0またはH! Saのとき)
1-√3
1+
|a²–1 2
2
思考の言語化 下の問いへの考えを書き出そう。
④ max 記号を用いる解法の方が効率がよいのはなぜか?
b=M(α)| b=|α²-2a|
この理由は、もう一度上の解答を見てみるとわかるだろう。
O 11 2RS
1+√3
A32
>ところで、この解答の中で b = M (a) のグラフをかいている。 b をα の関数
とみているわけなのだが、それはどういうことだろうか?このことは混乱し
やすいので,ぜひ言葉にしておこう。
の
･･・(答)
思考の言語化! 下の問いへの考えを書き出そう。
③6=M (a) とするとき, bがα の関数といえるのはなぜか? ま
におけ
初め, f(x) の最大値を考えるときには,αはもちろん定数である。 しかし,
最大値はαの値によって1つずつ決まるから, α のすべての値に対して最大
値を求めることは,α の関数としての最大値を求めることになるのである。
さてもう一度解答に戻ろう。 実は初めに述べたα, βの値が, それぞれ
1-√3 1+√3
そのうえでαの値と
2
1-√3
なのだが、素直にα,β の値を求め、そ
2
の大小で分類して解くよりも, max 記号を用いるこの解法の方が効率がよい。
Od
a=
1±√3
2 NG
a²-2a=-(a²-1),
-(a²-2a)=a² −1
を解くことで得られる。
430SJ J
③の答えの例
M(α) はαの値に対応して
ただ1つ定まる値であるか
ら、αの関数である。
3>#3 -=X
④の答えの例
maxの値はグラフの上下関
係だけで定められるから。
I

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ヒラリバタフライ男爵

簡単に まとめてみました。

解答例のグラフの実線部分は
|a^2 - 1| と |a^2 - 2a| の 2 つの関数のうち
グラフ上で上側に来ている線を結んでいるのだと思います。

添付した図の赤マーカーの部分です。

中央部分にマーカーを引いてませんが、
ここは最大値 1 の部分なので
グラフとは無関係に 1 になります。
（分かりやすいように、あえて引きませんでした）
解答例のグラフで水平になっている部分です。

奏音

グラフとは無関係に1になるんですね
ありがとうございました😭