Question

れん

この問題を、全体的に解説して頂きたいです😭
答えは載っていません、よろしくお願いします🙇

[3] 数列 {an},{bn} は a1 = 3,61 -1, an+1-bn
=3n+1 (n=1,2,3,･･･) を満たすとする。
an-bn+1
(1) a2, 62 の値を求めよ。
(2) n ≧1 のとき, 2n+2 a2n の関係式を求めよ。
(3) 数列 {an}の一般項を求めよ。
(4) 数列{an}, {bn}の一般項を求めよ。
=
7n+2 (n = 1,2, 3, ...),

数学 数列 漸化式 等比数列 等差数列 一般項

Answer 1

S

★連立漸化式の定石はanかbnの番号を揃えて消去or等比数列となるような定数決定

なので後者でやる場合は2の誘導からa(2n+2)ーxa(2n)＝y{a(2n+1)ーxa(2n-1)} (x,yは定数)となるようなx,yを求めても構いませんが、今回は前者で。

1.n＝1と決定して代入。終了。
2.an関係にしたいのでbnを消します。b(n+1)が揃うように2式のnを調整して、
a(n+2)-b(n+1)＝7n+9　ここから2式目を引いて
a(n+2)‐a(n)＝4n+8　欲しいのは2n+2と2nなのでnを2nと組み替えて a(2n+2)‐a(2n)＝8n+8

3.つまりanを描き並べると1項飛ばした時に階差が8n+8になるということですね。
あとはa2に足していってシグマ記号で和を取ればok
2,4,6…2nの間にはn項あり隙間はn-1個なのでk＝1からn-1で(n≧2)、8k+8の和をa2に足して終了です。

4. 2nをnに組み替えて、anを出す
2と同じ手法でanを消去してbnも階差にして和をとって終了。(または係数決定)

という感じです。

れん

丁寧な解答ありがとうございます😭
質問なのですが、最後のanを消してbnだけの式にする方法がいまいち分からないので、どんな式になるか、分かれば教えて頂きたいです🙇‍♀️
あと、a2nの一般項が、4n^2+4nで合ってるかと、anの一般項が2n^2+2nで合ってるかどうか、分かれば教えて頂きたいです🙇‍♀️
質問が多くなってしまいすみません💦よろしくお願いします!