Question

‪ ₱å₥ ♡̷̷̷𓈒𓂂✧︎

Math Ⅱ ꔛ‬ 不等式の証明

画像の式が成り立つことを証明したいのですが ,
どのように計算すれば
左辺が()²の式になり0以上になりますか (*¨*)？

何かの二乗になれば良いということは
承知済みです 🤚🏻

たすき掛けや平方完成を使ってみたのですが ,
計算ミスなのか注目するところが
違うのか上手く変形出来ません ;ㅅ;

✿. ﾍﾞｽｱﾝ必ずつけさせて頂きます .′

x²³²- 2xy + 5y² + 2x + ₂y + 2²0

₱å₥

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

綾野穂香

計算ミスかどうかは、実際の計算過程を写真で見せていただかないと判断できません。そのため、一般的な解法を記述しておきます。

例えば、

x²-2xy+5y²+2x+2y+2
= x²-2(y-1)x+5y²+2y+2 [xについて降べきの順で整理]
= x²-2(y-1)x+(y-1)²-(y-1)²+5y²+2y+2 [因数分解できるように項を増やす]
= {x-(y-1)}²-(y-1)²+5y²+2y+2 [因数分解]

のように変形できます。{x-(y-1)}²≧0 より示すべきことは、-(y-1)²+5y²+2y+2≧0 です。-(y-1)²+5y²+2y+2 は単なる y の二次式で、一度全て展開すると平方完成できます。

‪ ₱å₥ ♡̷̷̷𓈒𓂂✧︎

なるほど ,,
平方完成が間違っていたようです > <

追加で質問させて頂きたいのですが ,
画像の最後の式から
(6y²+3)をどのように変形出来ますか , (*¨*)？

そもそも途中式が間違っていたら
教えてください 🙇🏻‍♀️՞

綾野穂香

括弧の始まりと終わりに注意してください。

-(y-1)²+5y²+2y+2
= -(y²-2y+1)+5y²+2y+2
= -y²+2y-1+5y²+2y+2
= 4y²+4y+1

です。これを平方完成すると、

4y²+4y+1
= 4(y²+y)+1
= 4(y²+y+1/4-1/4)+1
= 4{(y+1/2)²-1/4}+1
= 4(y+1/2)²-1+1

となります。

‪ ₱å₥ ♡̷̷̷𓈒𓂂✧︎

無駄に括弧をつけてしまっていたのか > <

理解出来ました .′
最初から最後まで
丁寧な説明に感謝します ( . .)"

ﾍﾞｽｱﾝつけさせて頂きます✩°｡ ⸜(* ॑ ॑* )⸝