Question

らむ

赤く印を付けたところが分かりません💦
また、可能だったら教えていただきたいのですが、抽象的に言うとこの問題は何を解いたいのでしょうか？

+41.
1つの角が120°の三角形がある. この三角形の3辺の長さx,y,zは
x<y<z を満たす整数である.
(1) x+y-z=2 を満たすx,y,zの組をすべて求めよ.
(2) x+y-z=3 を満たすx,y,zの組をすべて求めよ.
(3) a,bを0以上の整数とする.x+y-z=2･3を満たすx,y,zの組
の個数をaとbの式で表せ.
(一橋大)

72
41.
解法メモ
三角形ABCの3つの内角の大きさと3辺の長さについて,
<A> <B> <C ⇔ BC > CA> AB
の関係がありますから,本間の三角形の最大角 120° の対辺の長さは
したがって, 余弦定理を用いれば,
の関係があります.
(1), (2), (3) のいずれも, x+y-z の値が与えられていて,アと併せて2本で
未知数x,y,zが3つ.
方程式が1本足りないのをx,y,zの整数条件でおぎないます.
【解答】
与条件から
ここで,
z'=x2+y2-2xycos 120°
=x2+y2+xy
XC [120 °
のとき,
y
よって 120°の対辺の長さはzで,余弦定理から,
z2=x2+y2-2xycos 120°
=x2+y2+xy.
x,y,zは正の整数で
x<y<z.
x+y-z=k(kは正の整数)
また,③②へ代入して,
z=x+y-k.
これと①からはあま
x<y<x+y-k.
. x<y, 0<x-k.
... k<x<y.
(x+y-k)=x2+y2+xy.
ry-2kx-2ky+k²=0.
.. (x-2k) (y-2k)=3k².
ここで, x-2<0 とするとy-2k<0で④と併せて
k<x<y<2k.
-k<x-2k<0, -k<y-2k<0.
0<(x-2k)(y-2k) <k².
LÄN
これは⑤に不適.
よって、x2k> 0, したがって,
0<x-2k<y-2k.
(1) x+y-z=2, すなわち, k=2のとき, ⑤,⑥から,
(x-4)(y-4)=12,0<x-4<y-4,
かつ,x-4, y-4は共に整数だから,
(x-4, y-4)=(1, 12), (2, 6), (3, 4).
.. (x, y)=(5, 16), (6, 10), (7, 8).
これと ③... z=x+y-2 から, 求める x, y, zの組は,
(x,y,z)=(5,16, 19),(6,10,14), (7,8,13).
(2)x+y-z=3, すなわち, h=3のとき, ⑤, ⑥から,
(x-6)(y-6)=27, 0<x-6<y-6,
かつ,x-6, y-6は共に整数だから,
(x-6, y-6)=(1, 27), (3, 9).
.. (x, y)=(7, 33), (9, 15).
55 整数 73
これと ③ ... z=x+y-3 から, 求める x,y,zの組は,
(x, y, z)=(7, 33, 37), (9, 15, 21).
(3) x+y-z=2°･30, すなわち, k=243 のとき, ⑤, ⑥から,
(x-2a+1.3°) (y-2a+1.3) =220.326+1,
(2a+1)(26+1+1)
2
0<x-2a+1.3°<y-2a+1.30,
かつ,x-2a+1.3°, y-2°+1.3は共に整数である.
ここで,224.326+1=(2・3)2・3 は平方数ではないので, (*) をみたす正の
整数 x-2a+1.3°, y2a+1.3 組の個数は, 220-326+1 の正の約数の個数
の半分に等しく,720
...(*)
(2a+1) (b+1) (B).
b/
[参考] ( その1)
(i) X,Y が整数で, XY = K, X> 0, Y>0 をみたすとき, X,Yの組の
個数は,Kの正の約数の個数に等しい。
(例) K=6なら,Kの正の約数は 1,236の4個で,
(X, Y)= (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) 4.
K = 36 なら, K の正の約数は 1,2,3,4,6, 9, 12 18,369
個で,
副
GU
21-10
8781
135

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

綾野穂香

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