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ひきわり様
①は正解ですが、この解答だと反復試行の確率です。すなわち、
「1枚の100円硬貨を5回投げるとき、k回だけ表が出る確率」
になります。本問は5枚を同時に投げているので、
求める確率は 5Ｃk/2⁵=5Ｃk/32 (k=0,1,2,…,5) ■ ←ひきわり様の答えを整頓すると同じ答えになります
②については、ひきわり様の確率分布表から
E(X)=(1/32)＊(0＊5Ｃ0+100＊5C1+200＊5Ｃ2+…+500＊5Ｃ5)=250 (円) ■
で良いと思います。大学では…の部分は
E(X)=Σ(k=0～5)100k＊5Ｃk＊｛(1/2)^k｝＊｛(1/2)^(5-k)｝
=Σ(k=1～5)100＊｛k＊5Ｃk｝＊｛(1/2)^k｝＊｛(1/2)^(5-k)｝ ←k=0をk=1に変えました
=Σ(k=1～5)100＊｛5＊4Ｃ(k-1)｝＊｛(1/2)^k｝＊｛(1/2)^(5-k)｝ ←k≧1のとき、k＊nＣk=n＊(n-1)Ｃ(k-1) …①
=500＊(1/2)＊Σ(k=1～5)4Ｃ(k-1)＊｛(1/2)^(k-1)｝＊｛(1/2)^(5-k)｝ ←(1/2)を1つだけくくり出しました
=250＊(4Ｃ0＊｛(1/2)^0｝＊｛(1/2)^4｝+4Ｃ1＊｛(1/2)^1｝＊｛(1/2)^3｝+…+4Ｃ4＊｛(1/2)^4｝＊｛(1/2)^0｝)
=250＊｛(1/2)+(1/2)｝⁴ ←二項定理です
=250 (円) ■
ということですが、Σ(k=0～5)ぐらいならば代入した方が早いです。なお、①の等式は次のように証明します。
k＊nＣk=(n人からk人の委員を選び、そのk人の中から1人の委員長を選ぶ仕方)
n＊(n-1)Ｃ(k-1)=(n人から1の委員長を選び、残りのn-1人から委員をk-1人選ぶ仕方)
∴k＊nＣk=n＊(n-1)Ｃ(k-1) (k≧1) ■
また、二項分布を知っていれば、kは B(5,1/2) に従うから E(k)=5＊(1/2)=5/2
求めるものは E(100k)=100E(k)=100＊(5/2)=250 (円)
とできます。
ひきわり様
Σ計算で
Σ(Ak＊Bk)=Σ(Ak)＊Σ(Bk)
は成り立ちません。そこで等式
k＊nＣk=n＊(n-1)Ｃ(k-1) ←左辺は Ak=k , Bk=nCk と考えます
を使って、動く k を動かない n にするわけです。
Σ(k＊k)=Σk＊Σk
Σ(k＊k)=Σk＊Σk
なども成り立ちません。
ひきわり様が写真で示している等式で、右辺の「＊」がどの部分に掛かっているのかが分かりませんが、
いずれにしても
Σ(Ak＊Bk)=(ΣAk)＊(ΣBk)
あるいは
Σ(Ak＊Bk)=Σ｛Ak ＊(ΣBk)｝
になっていないでしょうか。
これらはともに成り立ちません。
(どの部分が Ak , Bk になっているのかを確認してみてください)
また、一般に
Σ(Ak＊Bk)
の計算は難しいので、自分が立式した等式が
Σ(k=1～1) あるいは Σ(k=1～2)
で成り立つか、日ごろから確認すると良いと思います。
了解です。
ありがとうございました。
ひきわり様
確率の定義は
(対象となる事象の起こる場合の数)/(起こりうるすべての場合の数)
です。したがって、5 枚の硬貨 A,B,C,D,E を同時に投げるとき、 ←確率を考えるときは 5 枚の100円玉を区別して考えます
(起こりうるすべての場合の数)=2⁵ (通り) ← 硬貨Aが表か裏の2通り、硬貨Bが表か裏の2通り、…
(k 枚だけ表が出る場合の数)=5Ck (通り) ← 硬貨A,B,C,D,E のうち k 枚が表になる仕方
よって、求める確率は
5Ｃk/2⁵=5Ｃk/32 (k=0,1,2,…,5) ■
とするのが本来です。
反復試行を使った解答だと採点者によっては正解かもしれませんが、
減点される可能性が大きいと思います。
もし、反復試行の確率で解答して、かつ、採点者に弁明できるチャンスがあるならば、
「5 枚の硬貨を同時に投げても、表裏が決定するのは硬貨によってまちまちなので、
反復試行の確率を使いました。」
と採点者に伝えれば正解になるかもしれません。
また、期待値の方は k=0,1,2,…,5 なので
確率分布表を作成してから、Σを使わないで計算するのが自然です。
Σを使わないで計算するのが自然ですが、使うときは反復試行の立式を用いるということで大丈夫ですか？
ひきわり様
①の答えを
5Ｃk/2⁵=5Ｃk/32 (k=0,1,2,…,5)
としたとき、②の期待値をΣを使って求めるならば、
E(X)
=Σ(k=0～5) (100k)＊｛5Ｃk/32｝
=(100/32) Σ(k=0～5) ｛k＊5Ｃk｝
=(100/32) Σ(k=1～5) ｛5＊4Ｃ(k-1)｝ ← k=0 を k=1 にします。例の等式も使って k を消します。
=(500/32) Σ(k=1～5) ｛4Ｃ(k-1)｝ ←
=(500/32)＊｛4C0+4C1+…+4C4｝
=(500/32)＊(1+1)⁴ ←二項定理
=250 (円)
のようになります。
ご丁寧にありがとうございます😭
今度こそ理解できました。
詳しいご説明ありがとうございます。
②の二項定理についてですが、ご回答いただいた分は理解できました。
しかし、写真のようにkを残したまま二項定理を行うことはダメなのでしょうか？
なぜわざわざk×nCk の性質を利用するのかがわかりません。
よろしくお願いします🙇