Question

s

場合分けの範囲が、どういう意味か分かりません。🙇🏻‍♀️

練習 0<a<1 のとき, logab と loga の大小を比較せよ.
[175
***
(福岡教育大改)
p.348 [ 20

175 0<a<1のとき, logab と logsa の大小を比較せよ.
真数条件, 底の条件より, 0<b<1,1<b
logab=t とおくと,
logab-log.a=logab
=t-
(i)0<b<a<1のとき
10gab>logaa より, logab>1
したがって,
(ii)0<a=b<1のとき
logab=logaa=1,
1
logab
1 t²-1 (t+1)(t-1)
t
t
t
つまり, t>1
このとき, ① において,t> 0, t-1> 0, t +1>0 より,
logab-log a>0
より
logab=logsa
(i)0<a<b<1のとき
より,
logablogsa
=
logaa>log.b>logal
0<logb<1
したがって,
(iv) 0<a<1<bのとき
log.a=logb=1
よって,
つまり, 0<t<1
このとき①において, t> 0, t +1> 0, t - 1 <0 より,
logab-loga<0
logab<logsa
logal>logab より logb<0
つまり,
t<0
このとき, ① において, t<0, t-1<0より, logabと
loga の大小は,t+1の符号で決まる.
(ア) t +1>0 つまり, t> -1 のとき
log.b>−1=log„a¯¹ £n, b<< 1
a
(イ) t+1=0 つまり, t=-1 のとき
log.b=-1より,b=lz
このとき, ①より,
logablogsa>0 つまり, logab>logsa
......1
(ウ) t+1<0 つまり, t<-1 のとき
このとき, ①より,
logab-loga=0 つまり, logab=logsa
logab<-1=loga より,
このとき, ①より,
b> =1/12
logab-logsa<0 つまり, logab<loga
0<b<a<1のとき, logab>logba
0<a=b<1のとき, logab=log.a
0<a<b<1のとき, logab<loga
1<b</1/2 のとき, logab>logba
1<b=1/12 のとき, logab=logoa
1 < 1 < b のとき,
logab<logba
a
<logp=
1
logpa
底αの対数をとる.
底aが0<a<1 より 不等
号の向きは真数の大小と逆
底αの対数をとる.
底aが0<a<1 より 不等
号の向きは真数の大小と逆
底αの対数をとる.
底aが0<a<1 より, 不等
号の向きは真数の大小と逆
底aが0<a<1 より, 不等号
の向きは対数の値の大小と逆
<底aが0<a<1 より, 不等号
の向きは対数の値の大小と逆
0<a< 1 より
≒>1
a

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

綾野穂香

模範解答の場合分けは、b が数直線上のどこに入るかで場合分けしています(画像参照)。

なお、模範解答以外の解き方として、①の式に着目し、t<-1, t=-1, -1<t<0, 0<t<1, t=1, t>1 のように t の位置で場合分けする方法もあります。
これらの t の条件から a, b の条件を求めても、模範解答の場合分け条件と一致するため、このような考え方も覚えておくと役に立つと思います。

s

詳しく説明していただきありがとうございます。
-1<t<0,0<t<1の場合分けはなぜ必要なのでしょうか🙇🏻‍♀️

綾野穂香

一般に場合分けするときは、全てのケースを網羅する必要があるため、-1<t<1 の範囲も網羅する必要があります。質問は、なぜ -1<t<1 を -1<t<0, 0<t<1, t=0 の3つに分けるのかでしょうか。

t=0 は①の分母が 0 であるため、特別の場合として扱います。-1<t<0 は ①=(正)*(負)/(負)=(正) となる一方、 0<t<1 は ①=(正)*(負)/(正)=(負) となります。①の正負と log a b, log b a の大小は対応しているため、この２つの範囲を分けて考えます。

発展的な話をすると、y=(x+1)(x-1)/x という関数のグラフは画像のようになります(微分でグラフの概形を求めても、xを少しずつずらしながらyを求めてもよい)。このグラフを見ると、yの正負が入れ替わるのが、x=-1,0,1 であることが分かります。そのため、-1,0,1 との大小で場合分けするという発想が自然とでてきます。