Question

あおちゃ。

3枚目の解説の？の部分がなぜ割るのか教えてください

でめ
(詳しくは p.388 参照)
IZRA
関数 f(x)=x2+kx²+kx+1 の2つの極値の和が2となるときkの値および
200 2つの極値を求めよ.
TER

200
関数f(x)=x+kx2+kx+1 の2つの極値の和が2となるときkの値および2つの極
値を求めよ.
Tel
f(x)=x+kx2+kx+1 より, f'(x)=3x2+2kx+k
関数f(x) が2つの極値をもつから, f'(x) = 0 は異なる2
つの実数解をもつ.
つまり、 f'(x)=0 の判別式をDとすると, D>0 である.
D
したがって, 12/2=k-3k=k(k-3)>0
より
4
k<0,3<k .....①
f'(x)=0 つまり, 3x²+2kx+k=0 の2つの解を α, β
(a <β) とすると, 解と係数の関係より,
a +B= = 1²/²k₁ aß= 1k
3
2つの極値の和f(α)+f(β) は,
198 f(a)+f(β)=(a+ka²+ ka+1)+(B'+k32+kβ+1 )
=(a+β)+k(a^²+2)+k(a+③)+2
3=(a+β)3-3αβ(α+β)
=
3
k
2
- 6 2 3 5 31 = (-2² k) - 3. 12 -( - 13 k) =
3
+k{(a+β)2-2aβ}+k(a+β)+2
f(a)+f(β)=2より,
{(-
+k{
4
27k²-²3² k²+2
したがって, ① より k=1927
xqS+
4
2
27k² - ²3 k²+2=2
k²(2k-9)=0
b +
20
極大値と極小値をもつ。
D70のときし
DEAEGSES +R(-3R)-2.5} + k-(k)+2-(0)7
k
異なる2つの
実数解
もっ
a³ + 30x² 3 + 3 αp²+p³
(DAN
1-3 apla+p) 1=13.
4+1=(x)
091
+20+²x4+x=(1^
2つの極値の和が2
9
<k=0,
2

201
このとき, f(x)=x+-
f(x)=0 のとき,
76x)=3x²20
f'(x)=3x+9x+9
f(x) の増減表は,
をとる.
したがって、右x=-
50 のとき、最小
α<Bより、 と α=-
右のようになり,
9
9
2x² + ²x + 1
2x+1
2
3x² +9x+²2=0
2x2+6x+3=0
-3±√3
2
-3-√3
2
f(a)=-2a 4
9
x=α で極大値ようにf'(x) + 0
x=β で極小値の
区
921
k=1, 極大値
2'
B
-
X(8) = 38-3--3-
f(B)= ・B
4
-3+√3
2
ここで,
α, βは, 2x2+6x+3=0 の解であるから
a
●
●
3 15
f(x)=(2x²+6x+3)(212x+242) - 12/28x10
4
...
f(x) > 極大 \ 極小
-
345 3-3-√3 5_4+3√3
2
2
3 -3+√3
5
2
2
よって、求めるんの値と2つの極値は,
極小値
4
-
101
第6章 微分法 359
BE
0 +
4
5 4-3√3
4
4
4-3√3
f(x) を 2x² +6x+3で割る。 1
2a²+6a+3=0
28°+63+3=0 (
f(B)=2-f(α) でもよい。
4+3√3
4
次の関数f(x) について, 最大値と最小値を求めよ.また,そのときのxの値を求めよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

よくある工夫です
工夫に過ぎないのでやらなくてもいいです

いまは3次関数f(x)にx=αつまり(-3-√3)/2
などを代入してf(α)を求めようという文脈です
そのまま代入して計算を済ませても
問題ありませんが面倒です

事実としてαは2次方程式2x²+6x+3=0の解なので、
2α²+6α+3=0が成り立ちます
もしもf(x) = (2x²+6x+3)×g(x)+R(x)…★と変形できたら
これにx=αを代入して
f(α) = (2α²+6α+3)×g(α)+R(α)
ですが、α²+6α+3=0なのでf(α) = R(α)と簡単になります

ここで、★はf(x)を2x²+6x+3で割ることで得られる式です
このときR(x)は1次以下なので、
3次式に代入して得られるはずのf(α)が
1次以下の式に代入して得られるR(α)で済むのだから楽だね
という話です

チャートでも、数Ⅰから出てきている手法です