Question

さ

数Ⅱの積分の問題です
教えてください！！

3
解答を解答用紙 (その2) の 3 欄に記入せよ、美
次の等式を満たす関数f(x) を求めよ.
(100)
x²
f(x)= x - 2f\f(t)\ dt

3 解答
とおくと、与えられた等式は
f(x) = -kx² + x2-1)-(1+5-
と表せる。
(i) k=0のとき,②より
f(t)=t
となるが,このとき
'lf(t)dt=2k(kは定数).…①
Sof(t)dt=Sotat=[] = (‡0)
2
0
より①を満たさない。よって,k=0は不適。)=1
(i) k<0, または 0≦1のとき②より
0=X H
f(t)=t(-kt+1)
0=9Snie
y=f(t) の, t軸との交点はt=0, で,グラフは
k
右図のようになるので, 0≦t≦1において f(t) ≧0
となり
SV =0Suie 04105
よって, ① から
S₁₁ | f(t)\ dt= f'(-kt²+t) dt
So
.. k=
f(x)==
--
=
-
k
3
k
3
Iz Wrizz [-
k 1
+
3 2
t³+
1271
2 ]o
1
+ =2k
2
-x²+x
(i) k=0のとき
YA8
*STAN*
O
(ii) 0
<小百大量の
3
Baoobnie (1 0ec00aies=0Sale 20
14
これは 0≦1を満たしているので1-05
3
14
$30 A
y=f(t)
y=f(t)
T
k
0 <k≦1のとき
Jol
1
k
y=f(t)
Wie

1
OOON
(i) 1 <kのとき0 < < 1 である。このとき
k
300=AL (²
y=f(t) のグラフは上に凸で,右図のようになる。
よって
1
k
となるので
Osts k3 02 00ce
のとき
f(t) ≤0
≦t≦1のとき
S₁₁\f(t)\ dt=
| at= f* f(t)\ dt+f₁-f(1) dt
k
よって, ① から
1
k
3k2
3
整理すると
+
f(x)==
=
3
14
=S₁*(-kr²+1) dt+ S₁ (KP²-1)dt
Ski-t)dt
k
=
1
2
1
3k2
さな
f(t) ≥0
k
3
=2k
+
よって, (i), (ii), (i) からk=
-x²+x
t³+.
1
t² 1 t
2 0
k
1
3 2
......
+
1/3/31
(答)
10k³ +3k²-2=0 .....3
ここで、k>1において、 ③の左辺は単調増加関数なので
左辺> 10・1+3・1-2=11 (1 <k)
これより､ 1<kにおいて③を満たす実数には存在しない。
3
14
であり
18+
13.
(1くんのとき塗(八
1 the
k 1
1271
2
k
O
y=f(t)

定積分 積分 数ⅱ