Question

Hi（受験生）

244.
この問題において、Dを求めることって必要ですか？
実際この問題はDを求めずとも答えに辿り着けるし、
他の教材等で同様の問題の解答を見たときDについて調べていなかったのですが、必要なのでしょうか？？

372
基本例題 244 面積の最大最小 (1)
点 (1, 2) を通る直線と放物線y=x² で囲まれる図形の面積をSとする。 S
AA ARŠNODUR
小値を求めよ。
指針 点 (1,2) を通る直線の方程式は,その傾きを m とすると,y=m(x-1)+2と表され
まず, この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, BでSを表す。
このとき, 公式f(x-a)(x-3)dx=-12 (B-α) が利用できる。
更に,S を m の関数で表し,mの2次関数の最小値の問題に帰着させる。
解答
点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は
y=m(x-1)+2 ...... ① と表される。
直線 ① と放物線y=x2 の共有点のx座標は, 方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)2+4
常に D>0 であるから, 直線 ① と放物線y=x2 は常に異なる
2点で交わる。
その2つの交点のx座標をα, β(α<β) とすると
s=${m(x-1)+2-x*}dx=-
= -√²₂(x²-₁
T
2-mx+m-2)dx
=-f(x-a)(x-B)dx=1/12(B-α)
また
B-α=
m+√√D m-√√√D
-=√D=√(m-2)² +4
2
2
したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき
(B-α)も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)-1/30
adst
7-8-9 adot
x2-mx+m-2=0の2つの解をα, β とすると
よって
ゆえに
(B-a)²=(a+β)²-4aβ=m²-4(m-2)=(m−2)²+4
3₁
点 (1,2)を通りに
な直線と放物線y=x^
まれる図形はない。 よって
x軸に垂直な直線は考えな
てよい。
X=-
検討 β-αに解と係数の関係を利用
S=1/12 (B-4)において, (B-α)の計算は 解と係数の関係を使ってもよい。
a+β=m,aβ=m-2
(1,2)
α, βは2次方程式
x²-mx+m-2-00
TS,
mt√m²-4m+!
2
S=— (B—a)³= ¹ {(B—a)³²}* = = = {(m−2)² + 4) ³ ≥ — • 4³-4
6
m²-4m+8=D
XD-M300 TIROMA

例題244
bi
点(1,2)を通る直線の傾きををすると、直線の方程式は
y === m (2-2017= m(-²/²₂ - 0
4指針て
- ƒ ) [TAZZE É ¶ tuz?!.
と放物線の交点の座標は
この直線と
x² = m ( x-1 + 2 5²1 2²² - mx + m -2
の実数解である。②の判別式を口をすると
D = M²³² =
-x(m-2/
- Em +8
(m-Em = (e) fl
= (m = = 1² + y.
Dioより、直線①と放物線は常に異なる2つの実数解をもつ。
○交点を〆Bl〆=β)とすると、
2
-- Sale ² -me + m - ²) dx
t
-- (2x - (₂-Pldr
= + (²-x) ²³
-p-x mellmay
to
2
=
u
X=
1 Jm₁² - xm f f
2
U/= P1₂ 2
B - x 12 m² = 21. I ris
MI
INI
-Mm - 2)² + 4
2