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第4回考査 数B ポイント確認
22 △ABCと点Pに対して、 等式 PA+2P+3PC = 0 が成り立つ。
(1) 点Pはどのような位置にあるか。
(2) 面積の比 △PBC △PCA △PAB を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

(1)
点Aを基準にすると、PA+2PB+3PC = -AP+2(AB-AP)+3(AC-AP) = -6AP+2AB+3AC = 0
AP = (2AB+3AC)/6 = 5/6 × (2AB+3AC)/5
(2AB+3AC)/5はBCを3：2に内分する点を表すので、点Pは
点AとBCを3：2に内分する点との間を5：1に内分する点である。

または、点Bを基準にすると、PA+2PB+3PC = BA-BP-2BP+3(BC-BP) = -6BP+BA+3BC = 0
BP = (BA+3BC)/6 = 2/3 × (BA+3BC)/4
(BA+3BC)/4はACを3：1に内分する点を表すので、点Pは
点BとACを3：1に内分する点との間を2：1に内分する点である。

または、点Cを基準にすると、PA+2PB+3PC = CA-CP+2(CB-CP)-3CP = -6CP+CA+2CB = 0
CP = (CA+2CB)/6 = 1/2 × (CA+2CB)/3
(CA+2CB)/3はABを2：1に内分する点を表すので、点Pは
点CとABを2：1に内分する点との間を1：1に内分する点である。

(2)
図のように、BCを3：2に内分する点をD、ACを3：1に内分する点をE、ABを2：1に内分する点をFとすると、
△PAF：△PBF：△PBD：△PCD：△PCE：△PAE = 20：10：6：4：5：15
よって、△PBC：△PCA：△PAB = 10：20：30 = 1：2：3