Question

Hi（受験生）

62.2
(a,bは実数)は書いていた方がいいのでしょうが、書き忘れていても対して問題はないですか？？

100
基本例題 62 x2+x+1で割ったときの余り
f(x)=x80-3x40 +7 とする｡
205384
(1) 方程式x2+x+1=0の解の1つをとするとき, f(ω)の値をωの1次
do to
表せ。
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの余りを求めよ。 を置け
00041
基本 53,61 重要
指針▷f(x) は次数が高いので, 値を代入した式を計算したり、割り算を実行したりするのは
い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。好
高次式の値条件式を用いて次数を下げる
割り算の問題 等式 A=BQ+R の利用。 B=0 を考える
(1) は x2+x+1=0の解であるから w²+w+1=0
解答
(1) は x2+x+1=0の解であるから w²+w+1=0
よって
w²=-w-1, w²+w=-1
ゆえに w³=w.w²=w(-w-1)=-(w²+w)=-(-1)=1 (*)
また, 80=3･26+2,40=3・13+1であるから
f(w)=w 8⁰-3w40 +7=(w³) ²6 • w²-3(w³) ¹³.w+7
これを用いてまずω° の値を求め、その値を利用してf (w) の式の次数を下げる。
(2) 求める余りはax+b と表されf(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+b
これにx=ω を代入すると f(w)=aw+b
Q(x)は商
=126.(-ω-1)-3・11・ω+7=-4ω+6
(2) f(x) を x2+x+1で割ったときの商を Q(x),余りをax+b
(a,b は実数)とすると
[証明]
f(x)=(x2+x+1)Q(x)+ax+6
ω'+ω+1=0であるから
(1) から
-4w+6=aw+b
a,b は実数, ω は虚数であるから a=-4,6=6
したがって 求める余りは -4x+6
f(w)=aw+b
参考] a,b,c, d が実数, 2 が虚数のとき
(1) a+bz=0
⇔ α = 0 かつ b = 0
(2 a+bz=c+dz ⇔a=c かつ b=d
[①の証明] (←) 明らかに成り立つ。
b=0 と仮定すると 2=-
a
b
b=0
0000
一
(*) w³-1
が成り立つ。
を求め上
る。
(1)→(1)
→ (2)
=(w-1) (w²+w+1)=0
からω=1としてもよい｡
は1の虚数の3乗根であ
次数を下げて1次式に
A=BQ+R_
2割式B=0 を活用。
(50)=(1+0)
下の[参考] ② を利用。
よって
このとき
a=0
② の証明は, (a-c)+(b-d) z=0 として上と同様に考えればよい。
なお, 上の ①, ② は, p.62 の ② を一般の場合に拡張したものにあたる。
左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。
TO FILIOR

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

最後から2行目で「複素数の相等」が使えるのは
a,bが実数だからこそです
最初に出てきたところで必ず書いてください
書き忘れても、相等を使うときに思い出すはずですから、
最初のところに書き足せば済みます

Hi（受験生）

ありがとうございます！

Answer 2

るんるん

虚数を習っている以上はしっかり区別するために表記したほうがいいと思います！

Hi（受験生）

ありがとうございます！