9 はさみうちの原理
a1=0, an+1=
4
(1) 0≦a<1が成り立つことを,数学的帰納法で示せ.
(2) 1-an+1<
が成り立つことを示せ .
1-an
2
(3) liman を求めよ.
n→∞
an²+36
FESJARIL
(n=1, 2, ......) で定義される数列{an} について
1
2n-1
(1)により,
解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある.
1°am の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1 = α であるから, αは α = f(α) を
満たす. これからαの値を予想する.
n→∞0
n→∞0
2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f (α) の辺々を引くと, an+1- α = f(an) - f(a) となる
が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦ん<1である定数
..☆
の形の不等式を導く.すると,|an-α|≦klan-1-a|≦ke|an-2-a|≦... ≦kn-1|a-a|
0≦an-akskn-1|α1-α|
limk"-1|a-α|=0 であるから, はさみうちの原理により,|an-α|→0
言解答量
(1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n=kでの成立,つまり 0≦x<1が成り立つとすると,k+1 について,
0≤ak+1 <1
4
4
よってn=k+1のときも成立するから, 数学的帰納法により示された .
DATART
an² +3
1-an
(2) 漸化式から, 1-an+1=1-
(1-an)
4
4
1-an>0であるから,
1+ an
4
n→∞
(なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →α とは結論できない)
02312+3
-≤ak+1 <=
< 1+1=1/12/2
4
..
1-an+1<
-1</2/(1-an)
(3) 1-a>0と①を繰り返し用いることにより,
1
1
0≤1-an < (1-an-1)< (1- -an-2)<... <-
22
2n-1
1tan_
4
(解答は27)
-(1-a₁)=
- 0 より はさみうちの原理から lim (1-4m) = 0
n-00
1
2n-1
liman=1
(岡山県大・情報工-中)
1118
:. an→α (n→∞)
0≦x<1のとき,02≦a² <12
←漸化式を用いて1-Qn+1 を anで
表す.
本問の場合、求める極限値をα
として, 1° を使うと,
a²+3
α=
4
からαの値が予想できる.
a=1, 3
回答ありがとうございます！まだ納得いかないのですが……
極限求めるに当たってはイコール入ってない＜、＞でもいいですよね……？極限値って数列がその値を取ることは絶対になくてもいいものだと思うんですけど、合ってますか？
そもそも今回に関しては1-An=0って絶対になり得ないと思うんですよね、An=1の場合、数列全体が1になってしまって条件のA1=0と矛盾すると思うんです。だからこそ、ここでわざわざ1-An≦0にした意味がわからないです。
もしお時間あれば教えてください🙇♀️