Question

nai

数学Bの等差数列×等比数列の問題です。
問題①と②の求め方がわかりません。
どうやって解けばいいのか、途中式なども教えてください。

(3)次の和Snを求めます。次の問いに答えなさい。
Sn = 1·2+ 2₁ 2²+ 3⋅ 2 ²³+ ··· + n. 2"
3
①等比数列の和の公式を利用して和Snを求めるとき、
Sn-rSmとして式変形します。rの値を求めなさい。
r=
② Sn-rSnを利用して、Snを求めなさい。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

　Sn＝1･2＋2･2²＋3･2³＋･･･＋(n－1)･2ⁿ⁻¹＋n･2ⁿ

①各項の等比数列の部分のみを考えると
　　2，2²，2³，･･･，2ⁿ⁻¹，2ⁿ　なので，r＝2　　

　Sn と 2･Sn を考えると
　　　Sn＝1･2¹＋2･2²＋3･2³＋･･･＋(n－1)･2ⁿ⁻¹＋n･2ⁿ
　　2･Sn＝1･2²＋2･2³＋3･2⁴＋･･･＋(n－1)･2ⁿ ＋n･2ⁿ⁺¹

　Sn－2･Sn を，2の指数部分でそろえて考えると
　　　Sn＝1･2＋2･2²＋3･2³＋･･････＋(n－1)･2ⁿ⁻¹＋n･2ⁿ
　－2･Sn＝　 －1･2²－2･2³－3･2⁴－･･･････－(n－1)･2ⁿ －n･2ⁿ⁺¹
　―――――――――――――――――――――――――――――
　　－Sn＝1･2＋1･2²＋1･2³＋･･･････････＋1･2ⁿ⁻¹＋1･2ⁿ－n･2ⁿ⁺¹

　右辺が{等比数列の和}－αとなる事から，整理
　　－Sn＝2＋2･2＋2･2²＋･･･＋2･2ⁿ⁻²＋2･2ⁿ⁻¹－n･2ⁿ⁺¹
　　　【2＋2･2＋2･2²＋･･･＋2･2ⁿ⁻²＋2･2ⁿ⁻¹＝2(2ⁿ－1)】
　　－Sn＝2(2ⁿ－1)－n･2ⁿ⁺¹
　　　　＝2ⁿ⁺¹－2－n･2ⁿ⁺¹
　　　　＝－(n－1)･2ⁿ⁺¹－2

　両辺を「－1」で割り
　　　Sn＝(n－1)･2ⁿ⁺¹＋2

　簡易確認
　n＝1のとき，S₁＝(1－1)･2¹⁺¹＋2＝ 2，S₁＝1･2＝2
　n＝2のとき，S₂＝(2－1)･2²⁺¹＋2＝10，S₂＝1･2＋2･2²＝10
　n＝3のとき，S₃＝(3－1)･2³⁺¹＋2＝34，S₃＝1･2＋2･2²＋3･2³＝34