Question

シュルーム

解の存在範囲です。僕はグラフを使って解いていたのですが、(２)で切片が0より小さい時だけで十分なのはどうしてですか？1枚目の写真ノ下の方にグラフの説明がありますが、理由が書いてないです。

なぜ判別式、軸、切片を考える時と、切片だけで良い時があるのか理由を教えてください🙏

■2次方程式の実数解と実数の大小
a<k⇔a-k<0,a=k⇔a-k=0,a>k⇔a-k>0であるから 1の①~③ と同
に考えて, α-k, β-kの符号を調べればよいことがわかる。
GAINS
a>0の場合,2次関数f(x)=ax2+bx+c のグラフ (下図)から、次のことが成り立つ。
①a>k,B>k⇔D≧0, (軸の位置) >k, f(k)>0
② a<k, B<k⇔D≧0, (軸の位置) <k, f(k) > 0
③kがαとBの間⇔f(k) <0
0<+1+=(0)
a < 0 の場合は,①②③ で,それぞれf(k) の符号が逆になる。() ()
①
D≧O
(軸) > k
ka
f(k) > 0
軸
②
Bx
a
D≧0
(3)
f(k) <0
(軸) <k
f(k)>0
軸
Bkx
+α(+)
k
a
0
TB x

基本(例題 52 2次方程式の解の存在範囲
0000
2次方程式 x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように, 定数 かの
値の範囲を定めよ。
の
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
指針 2次方程式ャー2px++2=0の2つの解を α,β とする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつ β-1>0
p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号
以上のように考えると, 例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,β とし,判別解 2次関数
解答別式をDとする。
do
=(-p)²-(p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2)
解と係数の関係から
a+β=2p,aß=p+2
(1) α>1,β>1であるための条件は
ID≧かつ(α-1)+(B-1)>0かつ (α-1) (B-1)>0-
D≧0 から
30
よって
E-
(p+1)(p-2)≥0
p≤ -1, 2≤p
......
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
D
(1)=(p+1)(p-2)≥0,
①-e-(8-8)8-(8-10
(a-1)+(β-1)> 0 すなわち α+β-20 から
......
4
軸について x=p >1,
(1)=3-p>0
から2≦p<3
A
2>0よってp>1: 23-
(α-1)(β-1)>0 すなわち αβ-(α+β)+1>0 から 0 1
p+2-2p+1>0
x=py=f(x)
a
B
x
89
L
-)=(8-88-
よって
<3
(3)
1
求める』の値の範囲は,1,2,
(2)f(3)11-5p < 0 から
11
③の共通範囲をとって
-1
123
2≦p<3
(2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は
(a-3)(ẞ-3)<0
すなわち aβ-3(a+β)+9 < 0
ゆえに
p+2-3・2p+9< 0
よって
b> 1/14
a=x $50 S
題意から、α=βはあり
えない。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

グラフ③と同じ考え。
k＝3とする。

α＜3＜βより、
α－3＜0、β－3＞0だから、
(α－3)(β－3)＜0を計算する🙇

🍇こつぶ🐡

別解に書いてますが、α＜3＜βだと、3を挟んだα、βの交点より下にグラフがあり、f(3)＜0から求まります🙇

シュルーム

なぜこの問題は判別式と軸を考えなくていいのですか？
考える時とそうでない時の違いはなんですか？教えてください🙏

🍇こつぶ🐡

考えても良いけど、解が二つあるから2点でx軸交わることは分かるから判別しなくて良いし、3を挟んだ解2つなら、軸は二つの解の間にあることは分かるから🙇

Answer 2

和

つねに「判別式、軸、切片」でいいのです
グラフを描けば、わかります

シュルーム

なるほど。考えてもいいけどいつでも成り立つから省略されているんですねありがとうございます😊