最初にどのような発想で手を動かし始めるかということを言っておきます。（今回は数学的帰納法の問題だと書いてありますが書いてない場合の話です）
まずはこの問題を見たときに「指数関数と2次関数だから、普通は2のn乗の方が大きくなるんだろう」という認識を持ってください。10²と2¹⁰を比べてやれば、そういう感覚は湧くと思います。
その上で具体的に調べたいので簡単に実験してやります。
n=1→1²<2¹
n=2→2²=2²
n=3→3²>2³
n=4→4²=2⁴
n=5→5²<2⁵
n=6→6²<2⁶
なんとなく、5以降は全部2のn乗の方が大きそうたなと分かれば、あとは数学的帰納法で「5以上の自然数nでは、nの2乗より2のn乗の方が大きい」ことを示せばいい」という方針が立てられると思います。
答案は写真に貼るので、読みながら僕の答案と自分自身の答案を見比べてみてください。
まずは、ドミノ倒しの1個目、今回の場合n=5の場合成立することを書いてやらないといけません。これを書き忘れていますので気をつけてください。
その次に、帰納法ではn=kの場合を仮定して、n=k+1のとき、【n=kでの仮定を用いて変形することで】n=k+1でも成立することを示します。習いたてあるあるで、この【】の部分、「仮定を用いて」というところが分かっていない答案があります。この仮定を使わないで証明できるなら、別に帰納法を使わなくても示せるということです。逆に帰納法を使うなら、k番目での仮定を使ってk+1番目が示せたとき初めて、kとk+1が繋がることになってドミノ倒し的に証明できるようになります。なので、仮定が使えるように変形するというのが数学的帰納法の肝となるところであり、一番難しいところですね。
今回は不等式証明なので両辺の差をとります。これをしないといけないこと自体はわかっていそうですね。細かい変形は答案を見てください。
答案を見させて頂いて思ったのは、全体的にnとkの区別ができていない点です。まだまだ数学的帰納法について理解が浅いところも多いと思われるので、もう少し類題を解いてみてください。
質問あればコメントしてください。
訂正
最初の実験のところで
n=1のとき
2¹＞1²
としないといけないのに逆で書いています。あと、補足ですがほんとの答案ではちゃんとn=2や3の場合も略さずに書いてください。