Question

えだまめ

数学的帰納法の質問です。
この問題の解説の〜〜を引いたところがどこからきたのか教えてください🙏

263 すべての自然数nに対して,不等式
1
==√ 1 + 1/3
六
+
√3 √5
が成り立つことを示せ。
+ ·+·
1
√2n-1
->√2n+1-1
[14 学習院大 〕

263
1
1
1
六
√ + √5 + √5 + + √/2/²_T> √2+1 -1
>√2n+1−1
√√3
√2n-1
とする。
[1] n=1のとき, ① の左辺は
1−(√3-1)=2-√3=√4-√3>0 より ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
赤+1+1+
VI
3
両辺に
1
/2k+1
赤十
+
ここで
1
||
を加えると
1
+
√3 √5
+
2k+2
√2k+1
√1
+
>√2k+1 -1+
+
2k+2
√2k+1
であるから
②③ から
1
1
1
赤+//+//+
VI
√3 √5
=1,右辺は √3-1
1
√2k-1
1
2k+1
1) -(√√2k+3-1)
>√2k +1-1
√(2k+2)^-√(2k+1)(2k+3)
√2k+1
1
1
√2^²=1 + √2/²+1
√4k² + 8k +4 - √4k2+8k+3
-
√2k+1
+
2k+2
√2k+1
--1><2k+3 -1
->0
1
√2(k+1)-1
3
>√2(k+1)+1 -1
よって, n=k+1 のときも①は成り立つ。
[1], [2] から, ① はすべての自然数nに対して成り立つ。
key 数