Question

おにぎり

赤い部分の面積を求める時って積分を使って範囲をAからBとして∮（放物線の式-円の式）としてはダメなんですか?

1
Þ
A
A
YA
B
X

54 第7章 積分法
例題 241 放物線と円の間の面積
5
0<a<2とする。
[考え方
円:x2+(y-1)'=α²
9
|解答
放物線:y=2x
A
について,次の問いに答えよ.
⑥ (1) 円 ①と放物線 ② の共有点が2個のとき,αの値を求めよ.
(2)(1) の共有点をA,Bとするとき, 線分ABの上側で,(1)で求めた
円 ①と放物線 ② とで囲まれる図形の面積を求めよ.
(
B
B
①
...... ②
A
(1) 0<a<2の値
を変化させたとき,
円 ① と放物線 ② の
位置関係としては,
右のような場合が
考えられる。
共有点なし
すなわち, ①と②
共有点2個
が共有点を2個もつ場合は、①と②が接するときである。
したがって,円 ① の中心と①②の接点との距離は円 ① の半径と等しくなる.
(2) 題意を満たす図形は、 右の図の斜線部分である.
次のように図形を分割して考えてみる.
ARE YA
15B-A-
JU
円の中心
円の中心
土
から扇とひく必要なかった
ya
をたす
(1)0<a<1で,円①と放物線
②の共有点が2個のとき、右の
図のようになり 円 ① と放物線
②が接する.
このとき、円①の中心を
3 25
16
jet
3
2
C(0, 1), 放物線② 上の点をP(p, 9
4
CP の最小値と半径 α が等しくなる.
9
CP2=p2+
=p²+1
4
a P
C 1
3
2
-p2) とおくと,
11 1 08.
+1
したがって,CP の最小値は、1 (=このとき)
CP>0 より CP の最小値は1となり, これが半径
aと等しくなればよい.
よって, a=1
****
x
OMX
DE EX
y4
A
共有点4個
0
B
○
「放物線と円が接する｣
=｢共通の接線をもつ」
円の中心と接点との距
離は、円の中心と放物
線上の点との距離の最
小値となる.
|p'=Xとすると,
CP=x=-2x+25
となり 2次関数で考
えることができる.
TE
QUBOCS=0<I<2V, an*
件を満たす。

TH)
Ich
Focus
注
(2) 求める面積とSとすると,
放物線と線分 AB で囲まれた部分の面積
(扇形ABC) - △ABC}
3
(1) より , 接するのは,p=2のときで
4
(S-
カニ±13
√3
2
18+(-3)
$+370-7
√√3 3
2
(√33)
よって, A
B
接点の座標を求める. y 座標は,
2
(i) 放物線と線分 AB で囲まれた部分の面積Sy=-x より求める.
S.-Salli- x) - 3] ₁²
dx
√√3
√√3
2
√√3
-S²+ 2(x + √3)(x - √ 3³ )dx
==
2
2
2
√3³√3
2
2
(ii) 扇形 ABCの面積S2
=
=1/√3
6 2
∠ACB=12/27より。
3"
1
2-3
+
12..
4-7-=-=-3
(i) △ABCの面積S3
Th
S₁=1/√3-12-√3
よって, A と(i)~(i) より,
S=Sｭ- (S2-S3)
4
12:28-11
√√3 TU √3 3√3 TC
4
13
13
A B
A
3
√3
4 2
線分 AB の方程式
3
y-2
A
B
Jel Haber &
JR
2/3
√5 +7 (³31 - x²) d x 2 H
よい。
(S+ (1-2)
ことを用いて求める (図形の性質を利用せよ )
2/ == -07
(+2k-36=25)
「2曲線が接する」と「重解をもつ｣
が同時に成り立たない場合があるので注意が必要である.
(p.407 参照)
2面
π
33
1032-
x2 dx を利用しても
0
√3
例題 241 (1) は,
点Pにおける放物線の接線と線分 CP が垂直に交わることから,
CP の最小値に着目し、その最小値と円の半径が等しい
at
12
2
B
積 455
例題 241の(1)で,円 ①と放物線 ② が接することから、①と②よりxを消去してy
の2次方程式を導き,その判別式D=0」という発想をもつかもしれないが,
について

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

希

もちろん解くことは可能です。
しかし、その場合積分する関数が√(xの関数)
という状態になり、数Ⅱの範囲では解くことができません。
数Ⅲを習っているならその解き方でもできます。

おにぎり

ありがとうございます🙇‍♀️