Question

ゲストッ

(2)で、何故x=5k-3がBの要素なのかが分かりません..

集合の包含関係・相等の証明
重要 例題 48
Zを整数全体の集合とするとき,次のことを証明せよ。
(1) A={4n+1|n∈Z},B={2n+1|n∈Z} であるとき ACB かつA≠B
(2) A={5n+2|n∈Z},B={5n-3|n∈Z} であるとき A=B
& HO
指針 (1),(2) とも要素が無数にあり, すべてを書き出すことができない。 このようなときは,次
のことを利用して証明する。
「ACB」 ⇔ 「x∈A ならば x∈B ]
「A=B」 ⇔ 「ACB かつ BCA」
解答
(1) x∈A とすると,x=4n+1 (nは整数)と書くことができる。
このとき
x=2(2n)+1 (31)
1
2nm とおくと,mは整数で
x=2m+1
ゆえに
よって
また, 3∈Bであるが
したがって
A≠B
(2) x∈A とすると, x=5n+2(nは整数)と書くことができる。
このとき
x=5(n+1)-3
n+1=kとおくと, kは整数で x=5k-3
ゆえに
xEB
よって
ACB
次に, x∈B とするとx=5n-3 (nは整数)と書くことが
できる。
このとき
n-1=lとおくと,lは整数で
ゆえに
xEA
BCA
xEB
ACB
3 A
x=5(n-1)+2
x=5l+2
よって
したがって, ACB かつ BCA であるから
x
B
A=B
00000
3
p.76 基本事項 ①
xEBを示すために,
2×(整数)+1の形にする。
xEAならばx∈B が示さ
れた。
x EB を示すために,
5×(整数)-3の形にする。
xEAならばx∈B が示さ
れた。
次に, x∈A を示すため、
5×(整数)+2の形にする。
xEBならば x∈A が示さ
れた。
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2章
5
集
合