Question

milk

まるで囲った部分はどのようにして導き出してるか解説していただけると助かります🙇‍♀️

の
32
の
で
2
る
定数とする。 x≧0 において、常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう
234 不等式が常に成り立つ条件(微分利用)
00000
の範囲を定めよ。
基本229
f(x)=x²-3ax² + 4a LT,
[xにおけるf(x) の最小値] >0
となる条件を求める。
導関数を求め、 f'(x)=0 とするとx=02
02a の大小関係によって, f(x) の増減は異
なるから、 場合分けをして考える。
(x)=x3x²+4a とすると
f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)
x=0.2a
[1] 24 < 0 すなわちα<0のとき
x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよ
うになる。
⑩ を満たすための条件は
したがって
a>0
f(x)=0 とすると
求める条件は、次のことを満たすαの値の範囲である。
x≧0におけるf(x) の最小値が正である」 ......
これはα<0に適さない。
[ [2] 2a=0 すなわち α=0のとき
x
sono f'(x)
4a>0
よって
a>0
[[3] 24 0 すなわち α>0のとき
0
x≧0 におけるf(x) の
x
増減表は右のようにな f'(x)
る。
①を満たすための条件
-4a³+4a>0
f(x)=3x2≧0でf(x)は常に単調に増加する。
①を満たすための条件は
f(0)=4a>0
これはα=0 に適さない。
ゆえに
2a<0
J
2a 0 x
-4a(a+1)(a-1)>0
a(a+1)(a-1) <0
これを解くと
a<-1,0<a<1
> を満たすものは
0<a<1
[1]~[3] から 求めるαの値の範囲は
0<a<1
0
f(x) 4a
2a
0
+
f(x) 4a-4a³+4a
2a=0
0<2a
102a x
注意 左の解答では,
[1] 2a<0, [2] 2a=0,
[3] 240の3つの場合
に分けているが, [1] と
[2] をまとめ, 2a≦0,
240 の場合に分けてもよ
い。
なぜなら, 240のとき,
x≧0ではf'(x)≧0
であるから x≧0でf(x)
は単調に増加する。
ゆえに, x≧0 での最小値
はf(0) =4α である。 実際
に左の解答 [1] [2] を
見てみると、 同じことを考
えているのがわかる。
a (a+1)(a-1)の符号
a>0のとき
a(a+1)>0
ゆえに a1 <0
としてもよい。
立つような定数αの値の範囲を
6
300
38 関連発展問題

微分

Answer 1

おばけ

上の表では0より上の数字(1や2や3など)をf'(x)に代入して正か負かと判断してます。代入したf'(x)が正の場合はf(x)で右斜め上向き矢印、f'(x)が負の場合はf(x)に右斜め下矢印をかきます。
下の表も同じ原理です。
[3]の最初でa＞0となっているので左の･･･欄には0~2aの数字(この場合aが分からないので必ず0~2aに当てはまる1or2a-1など)を、f'(x)に代入して…(続きは上の表と同じ)、右の･･･欄には2aより上の数字(2a+1や2a+2など)をf'(x)に代入して…(続きは上の表と同じ)

どうでしょうか？
間違っていたらごめんなさい🙏🏻💦

Answer 2

Take

milkさま

f'(x)のグラフはx切片 0 , 2a の下に凸な放物線なので
2a<0のときは、0より右側でf'(x)>0。
2a>0のときは、0と2aの間でf'(x)<0 , 2aより右側でf'(x)>0。
です。