Question

Hi（受験生）

112.1
陰で見ずらくてすみません。
記述これだとダメですよね？？

480
HA
00000
基本例題112 互いに素に関する証明問題 (1)
(1) nは自然数とする。 n +3は6の倍数であり, n+1は8の倍数であるとき、
n+9は24の倍数であることを証明せよ。
(2) 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ
ることを証明せよ。
(2)
指針 (1) 次のことを利用して証明する。 a, b, kは整数とするとき
p.476 基本事項 ②. 基本 111
【CHART
α, 6 は互いに素で, ak が6の倍数であるならば,kは6の倍数である。
(2)
+1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は 1
nとn+1の最大公約数をg とすると
n=ga, n+1=gb(a,bは互いに素)
この2つの式からnを消去してg=1を導き出す。 ポイントは
A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
解答
(1) n+3=6k,n+1=81(k, lは自然数) と表される。
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1)
n+9=(n+1)+8=81+8=8(+1)
よって
6(k+1)=8(+1) すなわち 3 (k+1)=4(+
!
3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。
したがって, k+1=4m (mは自然数) と表される。
ゆえに
n+9=6(k+1)=6.4m=24m
したがって, n +9は24の倍数である。
(2) nとn+1の最大公約数をgとすると
a,bは
①1 ak=blならばんは6の倍数, I αの倍数
互いに素 2 aとbの最大公約数は 1
練習
112
と表される。 n=ga をn+1=gbに代入すると
ga+1=gb すなわち g (6-α)=1
n=ga,n+1=gb (a,bは互いに素である自然数)
重要 114,
g=1
よって, nとn+1 の最大公約数は1であるから, nとn+1
は互いに素である。
注意 (2) の内容に関連した内容を、 次ページの[参考] で扱っている。
このとき, 1+1は3の倍数
である。 したがって,
1+1=3m² と表されるから,
n+9=8.3m=24m
としてもよい。
g, a,b は自然数で, n <n+1 より b-a>0であるからn=ga,n+1=gb
積が1となる自然数は1だ
けである。
(1) は自然数とする。 n +5 は7の倍数であり, n +7は5の倍数であるとき、
+12を3で割った余りを求めよ。
(2) nを自然数とするとき, 2n-1と2n+1は互いに素であることを示せ。
[ (1) 中央大 (道] p.484 EX 79
基本
自然数の
とを証明
指針▷ at
そこ
at.
なお
CHAR
解答
a+b と ab
数』を公約
a+b=
と表される
② から,c
aがpの倍
このとき,
bもの倍
これはαと
bがpの倍
aとbが
したがって
参考 前ペ
の問題を
問題
素
[証明] ni
る
※各自 n
素数が無
上の
法である
練習
a,
③113 (1)

まる。
数である。
数である。
0, 1, 2)
き
+(m-1)
の倍数で
同である
Et
割ったと
公約数は,
るには,
る。
て ①
KIU
1) Font 3 #² bal.
helpga倍数であるとき、自然数m.lを用いる.
n+ 3 = 6m - 0₁ nt=fl - @
(
と表すことができる
x-@ × 5 × ² / .
4-
Fn+12²=24m
30 € 3 = Al
n + 9 = 24 (m-el
UZ W₂2n + 9 17 4 12.03.
=) < >
nen+ 1 175₁ 1=nent la ₂7.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

まさ

m-l=0になる場合は24の倍数にならないのでダメだと思います

希

0は全ての整数の倍数なので24の倍数になりますよ。

まさ

説明が足りませんでした。
確かに0はすべての倍数になりますが、今回の問題だとnは自然数とする。という前提条件があるのでn+9が0になってはダメなのでは無いかと思い先程の回答になります。

Hi（受験生）

l≠mよりn+9は24の倍数、
と書いても×ですか？
n=15のときl=3,m=2
n=39のときl=7,m=5
のようにl=mとなるときはなくないですか？

まさ

すみません。チャートとか見てみましたが説明できず私の知識不足です。

確かに24の倍数を考えた時にl=mとなる値は存在しないと思うのでHiさんの方法でも大丈夫かもしれません。

ただ、私見としては今回の問題の場合は「互いに素に関する証明問題」とあるので問題集の解説のように「互いに素である」という文言を入れたほうが記述としての正当性は増すのではないかと思いますので、解説の方が解くのに時間はかかるかもしれませんが良ければ参考にしてみてください。

Hi（受験生）

丁寧にありがとうございます。
なるほどです。
確かに正当性が増すのはそっちですね。
ありがとうございます！