DOOO
を求めよ。
(2) 慶応大]
基本事項 ④
は素数。
-..+x²).......
=
素数のうち、
偶数は2の
みである。
とよい。
の形。
nは素数)
利用しても求め
■09 参照)。
HE
", (a")"=a™m
ろを2non とし
D15-101-1
05-103-1
は起こらない。
重要 例題107 2次式 の値が自然数となる条件
²+40 が自然数となるような自然数n をすべて求めよ。
+40mmは自然数)とおき,両辺を平方して整理すると²-n²=40
(m+n) (m-n)=40
①
指針▽
よって
← (2数の積)=(整数)の形。
ここで, A,B,Cが整数のとき, AB=Cならば A,BはCの約数
を利用して, ① を満たす整数m+n, m-nの組を考える。
このとき,m>0,n>0よりm+n>0であるから, ① が満たされるとき m-n>0
更に,m+n>m-nであることを利用して,組の絞り込みを効率化するとよい。
STEE
CHART
整数問題(積)=(整数)の形を導き出す
解答
n²+40=m(mは自然数) とおくと
n<m
平方してn²+40=m² ゆえに(m+n)(m-n)=40
mnは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり,
40の約数である。」という条件の
また,m+n>m-n≧1であるから,①より
m+n=40 m+n=20
m+n=10 m+n=8
m-n=5
したがって、求めるnの値は
m-n=1'
41 39
解は順に(m,n)=(1/2
(2. 32), (11, 9), (7. 3). (13. 3)
2
<n=√n² <√n²+40=m
①m²-n²=40
このことを利用すると、上の解答の
れる。
00000
<n> 0から m+n>m-n
<m+n=a,m-n=b とす
ると
a+b
n=
2'
a-b
2
mn が分数の組は不適。
m=
n=9,3
FARO FRA
検討 積がある整数になる2整数の組の求め方
上の解答の① のように,(積) = (整数)の形を導く
1つである。(積)=(整数)の形ができれば,指針の
答えにたどりつくことができる。
また、上の解答では, 積が 40 となるような2つ
この自然数の組を調べる必要があるが, そのような組
は、右の で示された, 2数を選ぶと決まる。
例えば、 140 に対して (1,40) と (40, 1) の2組
が決まるから, 条件を満たす組は全部で4×2=8 (組)
ある。 ちなみに, 「(積が40となる) 2つの整数の組」
という条件の場合は、負の場合も考える必要がある
ため、組の数は倍 (16組) になる。
しかし、上の解答では,
る。 なお, 整数 α bに対し (a+b)(a-b) = 26 (偶数) であるから, a+b と α-bの偶奇は
一致
ことは,整数の問題における有効な方法の
を利用することで,値の候補を絞り込み,
40 の正の約数
40=2.5 から (3+1)(1+1)=8(個)
5 ↓
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
を利用することで, (m+n, m-n) の組を4つに絞る工夫をしてい
の組は省くことができて, 2組に絞られるか
HAR U
M-801-
て求め上
473
4章
JmH
17
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
