Question

ゆうか

ここから先が解けません。
教えてください。

点Pにおける接線はX軸に垂直でないから、傾きをmとすると、
接線の方程式は、
y-6=m(x-4)
y=mx-4m+6
と表される。
②
②を円の方程式に代入して、
(x-1)+(mix-4m+6-2)^²=25
(x-1)+(mx-4m+4)2²=25
整理すると、
x=2x+1+{mx-4(m-1)}
= 41
= 25
16(m-1) ²
16 (m²zm+1)
16m²-32m+16
16-25+1
x=2x+1+㎥²²8(m-1)mx+16(m-1)=25
m²³x²+x²=8m²x+8mx-2x+16m²³-32m-8=0
(m²+1)x²-2(4m²-4m+1)x+8(2m²-4m-1)=0
m²+1=0から、この2次方程式の判別式をDとすると、
D={-2(4㎡²-4m+1)}^²-4(m²+1)・8(2m²-4m-1)

158
とができる。 また、
あり、求める円の方程式は、
中心 (1,1)と直線②との距離が円の半径に等しいことで
円 ① が直線3x+4y=24
あるから
131+41-24-181
ゆえに 177-24/=5/8/
71-24=5t から (=12,
(x-1)² + (x-1)² = /11²³
直線CP の傾きは
① (4-1)(x-1)+(6-2)(y-2)=25
3x+4y=36
00000
基本 例題
100 円周上の点における接線
/p.153, p.154 基本事項
円(x-1)^2+(y-2)2=25上の点P(4,6) における接線の方程式を求めよ。
よって
② 円の中心を C (12) とする。
求める接線は,点Pを通り,
半径 CP に垂直な直線である。
4
指針 接線の方程式を求める方法として,以下の4通りの方法がある。 1の解法が最も簡潔
であるが,いろいろな解法を身につけておこう。
① 公式利用
点Pは円周上の点であるから, 接線の公式を用いて直ちに求められる。
円(x-a)+(y-b)^=2上の点 (x1,y1) における接線の方程式は
(x₁-a)(x-a)+(y₁−b)(y-b)=r²
ら求める接線の方程式は
3
y-6-
4
・･・･･･・･②に接するため
② 接線半径
円の中心をCとすると,点Pにおける接線は半径 CP に垂直である。
したがって,点Pを通り, 直線CP に垂直な直線を求めればよい。
③ 中心と接線の距離 =半径
点Pを通る直線の方程式を作り, これと円の中心Cの距離が半径に等しければ接線
になる点と直線の距離の公式を用いて, 直線の方程式を決定すればよい。
④ 接点
重解
点Pを通る直線の方程式を作り、円の方程式と連立させて得られる2次方程式が重
解をもつとき,接線になる。その際、重解⇔ 判別式D=0 を用いる。
であるか
-なわち 3x+4y=36
点Pにおける接線は
tin
とすると
よって
71-24 = -5t から t=2
-(x-4)
7t-24=±5t
0
C(1,2)
P(4, 6)
←|A|=|B|
18
⇔A=±B
x
| 公式
2② 接線半径
この解法は円の接線の
公式を導くときに利用さ
れるものである(p.154
解説参照)。
検討
よって,接線の方程
別解 点P(2,1) を
接線にならないか
y=m(x-2)+1
直線 ① が円x2+1
(0, 0) 直線 ①
ゆえに
-2m
m² + (
両辺を平方して
整理して
m(3F
よって、 接線の方
整理する
よって
これを ①
4 点Pに
mとする
すなわち
②を円の
整理すると
(m²+
m²+1=0
D
4
=
=1
=1
②
したがって
よって
これを②に
円の接線の求め
円の接線につい