Question

らむ

補足の説明がよく理解できません。
教えてください🙇

109.p, 1,g(p≠g)がこの順で等差数列であり,しかもか,1,g' をう
まく並べ替えると等差数列とすることができる.このとき,P,g を求めよ.
(関西大)

2086
§11 数列
109.
解法メモ
a,b,cがこの順に等差数列となっているなら,
a,
と書けるから,
と書けるから,
b=a+d,
c=a+2d
2b=a+c.
a,b,cがこの順に等比数列となっているなら,
a,
b=ar,
c=ar2
b2=ac.
【解答】
p, 1,gがこの順で等差数列であることから,
① ② より g を消去して
(dは定数)
5
p+g=2.
また,p', 1, g2 を並べ替えて等差数列にできることから,
(i) p', 1, g2 (または, g', 1, p2) がこの順で等差数列のとき,
p2+q²=2.
①, および, p≠g より,
24 10
AP
(rは定数)
①,③より, g を消去して,
p²+(2-p)²=2. ∴. 2p2-4p+2=0.
∴. (p-1)2=0.
∴.p=1.
これと①より,g=1 となるが,これは p≠g に反する.
(i) 1,p',g^(または,g', p', 1) がこの順で等差数列のとき,
1+g²=2p?.
∴. p2+4p-5=0.
"$+1-48-0
1+(2−p)=2p2.
.. (p+5)(p-1)=0.
∴. p= -5, 1.
(p,g) = (-5, 7).
が,g', 1(または, 1, g, p2) がこの順に等差数列のとき, 与条件がか
に関して対称なことと(ii)の結果から,
(p, q) =(7,-5).
以上より, 求める p, gは,
9
(p,q)=(-5,7), (7, -5).
[補足]
一般には,異なる3つの数の順列は3!=6 (通り) できますが, a,b,cがこ
の順で等差数列のとき, 逆順に並べた c, b, a もこの順で等差数列となるので,
【解答】では,
(i) 1が等差中頃になるもの,
(ii) p' が等差中になるもの,
() g2 が等差中項になるもの
DR. d=1,
の3種類の確認をしたのです.
XD=80,S48-=8+
110.
解法メモ列の一般項はそれぞれ248-01
与方程式が複2次方程式であることに気が付いて,t=x^と置けば,
t2+ (8-2a)t+a=0
が異なる2つの正の解α, β (a <B)をもって,
(その1)
-√B, -√a, √a, √B
がこの順に等差数列になっているハズです。 (その1)
(d>0)
また,本問の等差数列的に並んでいる4つの実数解を
c-3d, c-d, c+d, c+3d
とおくと、与方程式左辺は
が言えます 4+ (8-2ax+a+b+
また。ただ={x-(c-3d)}{x-(c-d)}{x-(c+d)}{x-(c+3d)}
と因数分解されますから…(その2)
(**)(0/2) (6-3) 2) (0-0) --
(58f-762098-10-460}{s
x¹+(8-2a) x² +a=0
で,t=x2 とおくと, ① は, t2+(8-2a)t+a=0, すなわち,
{t−(a−4)}²_a²+9a—16=0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

バッタクロージャー

やってることは上と同じだと思います。
p^2 1 q^2 の順の数列となっているので左右を足して2で割ると真ん中の値すなわち(p^2+q^2)/2＝1となります。

らむ

例えば p^2 1 q^2 と q^2 1 p^2の場合、計算はやっていることが同じだから、わざわざ2つを場合分けしなくてもいいっていう認識で大丈夫でしょうか？

バッタクロージャー

大丈夫だと思います。