数学
高校生
初めのところから よって のところまでの説明が分かりません。教えてください
□82 平面上にn個の円があって, それらのどの2つも異なる2点で交わり、また
どの3つも1点で交わらないとする。 これらn個の円が平面を α 個の部分に
分けるとき, an をnの式で表せ。
教p.39 研究 例1
1個の円は平面を2個の部分に分けるから
a₁ = 2
個の円が平面を個の部分に分けていると
an
11
する｡
ここに、新たに (n+1) 個目の円 C1 をかくと,
Cn+1は他のn個の円と 2n個の点で交わる。
これらの交点でC+1 は 2n個の円弧に分かれ,
これが新しい境界になるから, 分割された部分
は 2n 個増加する。
よって
an+1=an+2n
数列{an}の階差数列の一般項が2nであるから、
n-1
≧2のとき a₂= a₁ + Σ2k=2+2.(n-1n
k=1
すなわち
a₁=n²-n+2
初項は α = 2であるから, この式はn=1のとき
にも成り立つ。
したがって a₁=n²-n+2
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