Qがピックアップというのは、出だしのq≠0と仮定すると…という所でしょうか？
もしそうなのだとすると、それは結果論です。
こういったタイプの論述問題は基本的に無理数と指定されている物が無理数じゃなくなるという結果に持っていく、所謂背理法を使うと相場が決まっています。何故なのか？と言う話は省きます。
そのため、Xが無理数じゃなくなると言うふうに持ち込みたい訳です。
このことから最初の手順としてX＝の形に変形をするというのは自発的に分かります。そうするとqが分母に来ます。ここで、q≠0と仮定する必要が出てきます。何故かと言うと、単純に数学上のルールです。分母が0じゃ駄目だと言うやつです。
これが結果的に問題の解決に繋がっているので、何かしら理由があるのでは？と考えがちですが、それはそういう風になるように問題が作られてるからということです。
なので解答ではあたかもq≠0と仮定することがスタートのように書かれてますが、実際は手順通りに変形した結果、後から分かることなので結果論ということです。
しかし、面倒なことに解説を綺麗に書くために頭に持ってきてるので、ややこしくなる訳です。
理解して頂けたようで幸いです。
数学の参考書や問題集の解答は今回のように、見栄えを綺麗にするために論理的流れとは違う順番で書かれることがよくあります。 一体どこからその出だしを思いついたんだ？ってなることがあるかもしれませんが、その時は今回のようなパターンだと思い返して貰えると幸いです。
ナルホド！色々詳しく書いていただいてありがとうございます！解決しました！