に矛
矛盾
[クリアー数学Ⅰ 問題148]
(1) 対偶「m,nの少なくとも一方が偶数ならば, mn は偶数である」 を証明する。
が偶数のとき, m はある整数kを用いてm=2k と表される。
このとき mn=2kn
knは整数であるから, mn は偶数である。
同様に,nが偶数のときも mn は偶数である。
よって, 対隅は真であり,もとの命題も真である。
(2) 対偶 「nが奇数ならば, m² +2 は偶数である」 を証明する。
mnが奇数のとき, (1) より, m, nはともに奇数である。
よって, ある整数 p, gを用いてm=2p+1, n=2g+1 と表される。
このとき m²+n²=(2p+1)+(2g+1)=(4p²+4p+1)+(4q²+4g+1)
=2(2p2+2g²+2p+2g+1)
2p2+2g²+2P+2g+1は整数であるから,m²+n2は偶数である。
よって,対隅は真であり、もとの命題も真である。
(3) 対偶「m+nが偶数ならば、m2 + m² は偶数である」を証明する。
m+nが偶数のとき, m+mはある整数1を用いて,m+n=21. と表される｡
このとき m²+n² = (m+n)²-2mn=(21)²-2mn=41²-2mn=2(21²-mn)
212-mnは整数であるから, m2+n2は偶数である。
よって, 対隅は真であり,もとの命題も真である。
別
は偶数である」 を証明する。
対偶「m+nが偶数ならば,m2+n2
m+nが偶数のとき, m, nはともに偶数か, ともに奇数かのどちらかである。
[1] m, n がともに偶数のとき
m, nはある整数α b を用いてm=2a, n=2と表される。
このとき m²+n²=(2a)²+(2b)²=2(2a²+26²)
242+262 は整数であるから, m² +2 は偶数である。
[2] m, n がともに奇数のとき
(2) より, m2+n は偶数である。
[1], [2] より 対偶は真であり、もとの命題も真である。
C
C
C
K
大
C
1
