Question

tkhsre

（1）の問の最後の方で、なぜy'の極限を求めるのですか？また、その極限がなぜx→1-0に近づけた時の極限を求めるのですか？
教えて欲しいです。

(O≤0≤12)
と表される曲
媒介変数0を用いて, x = sine, y = sin200≦
線Cについて,次の問いに答えよ.
(1) Cの概形をかけ.
(2) Cy≧0の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積
V を求めよ.

(1)y=2sinAcose において, sinθ=x とおくと
cos 0=√1-sin³0=√1-x² (cos0≥0 £
: y=2x√1-x² (0≤x≤1)
0≦x<1のとき
y' = 2√/1 − x² + 2x • 1/2 (1-x²) -7 · (–2x)
= 2(√/1-2²-√7²² ) = 2(1-2.2²)
√1-x²
y'=0 より
y"=2.-
=
X=
▬
1
2
-4x√√1-x²-(1-2x²)
1-x²
2x (2.x²-3) ²0
(1-x²)√/1-x²
2
2
(0≦x<1 より).
-2x0²³) (-
-≤0
2
115048²³² - 6x
X
/1-x²

lim_y'=-8
よって,上に凸で, 増減は表のようになる.
ここで,求めるグラフは右図のようになる.
x→1-0
IC
y'
y
20
0
+
7
1
√2
0
1
...
V
1
20
YA
1--
O
√2
1C

Answer 1

かきつばた

概形書くには増減表がいるわけさ
何故ならばどのように増加してるか微分しないと求められないから。yが増加するって言っても、例えば一次関数みたいに直線に増えてくのか、下に凸の放物線の様に増えるのか、上に凸の放物線のように増えるのかが分からないから。それって結局第1次導関数の傾きがいるわけじゃん？今導関数の傾きはx=1以外は数字代入すれば求めれるわけ。だけどx=1は分母が0になるから出せない。だから極限を出して、x=1付近に来たらどんな傾きなのかを出してるってこと

tkhsre

なるほど。
式上では1を代入するとf(x)は0になるけども、極限を用いて値が0になる寸前までの値は凡そどのくらいになるのかを求める為にこの計算をする、そうすればx＝1前後との値の連続性が見えてきて、その値の変化に則って図示すればその関数のグラフが求められる、という流れなんですね。
しかし、この問題では第1次導関数の極限を考えてますが、他の問題ではその関数自体の極限を考えている問題もあります。違いはなんですか？

かきつばた

違いというか元の関数の定義域の範囲内や端点で、不定形が出てきたら元の関数の極限を調べるし、
元の関数の定義域の範囲内で第1次導関数の不定形が出るならば極限を考えるっていう感じ