第7章
701 ある条件を満たす4桁の整数の個数
次の条件を満たす正の整数全体の集合をSとおく。
「各桁の数字は互いに異なり、 どの2つの桁の数字の和も9にならな
い。」
ただし,Sの要素は10進法で表す。 また, 1桁の正の整数はSに含まれると
する。
(4) Sの要素でちょうど4桁のものは何個あるか。
(2) 小さい方から数えて 2000 番目のSの要素を求めよ。
精講
(1) 「どの2つの桁の数字の和も9にならない」 ということは､た
とえば,千の位の数が2のとき, 百以下の位の数に7は現われ
ないということです。さらに,「各桁の数字が互いに異なる」条件のもとで予
の位から順に何通りずつあるかを調べます。
(2)Sの要素で1桁,2桁, 3桁のものの個数を数えると, 2000番目の要素は4
桁であることがわかりますから、4桁の小さい方から何番目となるかを調べ
ます。
(1) 0から9までの異なる2数で,それ
abらの和が9となるのは,
{0, 9}, {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4, 5} …..…..①
であり, Sに属する数の桁の数字としては,① の同
じ集合に属する2数が現れることはない。
したがって, Sの要素で4桁のものをabcd と表
すことにし、①において, a, b, c, dと同じ集合に
入っている数をそれぞれα', b', c', d' とするとき,
αの決め方は0以外の9通り、
の決め方は ad以外の8通り,
cの決め方は a, α', b, b′' 以外の6通り
dの決め方はa, d', b, b', c, c' 以外の4通り
解答
である。
あるので、全部で
(東京大)
9×8×6×4=1728個
なぜになり
(ているのか
たとえば,
a=2のとき, α'=7
b=3のとき, B'′=6
などである。
