Question

ゲスト🌙

[2]の両辺の差を求めるところから分からないので教えていただきたいです🙇‍♀️🙏

もし他にやりやすいやり方があればお願いします！

基本例題 47
数学的帰納法と不等式の証明
5 を満たす自然数nに対して, 2">n² が成り立つことを数学的帰納法に
よって証明せよ。
③ p.420 基本事項 1 基本45
CHART & SOLUTION
数学的帰納法 (一般)
[1] 出発点はn=1 に限らず
[2] n=kの仮定から n=k+1 の証明
この例題では, n ≧5 であるから, まず
[1] n=1のときの代わりに [1] n=5のとき
を出発点とする。
また, 不等式 AB を証明するのであるから, A-B>0 を示せばよい。

口
① とする。
のとき
(左辺) = 25=32, (右辺) =52=25
ゆえに,不等式 ① は n=5のとき成り立つ。
2">n²
[1] n=5
[2] k≧5 として,n=kのとき ① が成り立つと仮定すると
2k>k2
n=k+1 のとき, ① の両辺の差を考えると
2k+1-(k+1)=2.2'-(k²+2k+1)
>2k²-(k²+2k+1)
=k-2k-1=k-1)²-2>0
すなわち 2 +1>(k+1)^
よって,n=k+1 のときにも不等式 ① は成り立つ。
[1], [2] から n ≧5 を満たすすべての自然数nについて不等
式 ①は成り立つ。
(左辺) = 2 +1
(右辺) = (k+1)^
2.2 2.k²
k≧5 であるから
(k-12-2は
最小値 14 (>0)