Question

Hi（受験生）

判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか？tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4)
00000
実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。
[類 南山大] 基本98
指針
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても,
2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると
x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ⇔D≧0の利用。
CHART 最大･最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用
解答
2x+y=tとおくと y=t-2x... ①
これを x2+y2=2に代入すると
整理すると
5x²-4tx+t2-2=0...... ②
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は,
②の判別式をDとすると D≧0
ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10)
4
x2+(t-2x)=2
D≧0から
t²-10≦0
これを解いて -√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=-
t=±√10 のとき x=±
したがって x=
2√10
5
x=1
2√10
5
2√10
5
'10
y= 5
y=-
-4t
2.5
2t
2/4 をもつ。
5
√10
① から y=± 5
(複号同順)
√10
5
のとき最大値 10
のとき最小値-√10
参考 実数 a, b, x, y につ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー・シュワルツの不
等式)。
(ax+by)³s(a+b) (x² + y²)
[等号成立はay=bx]
a=2, b=1 を代入すると
(2x+y)=(2+12)(x2+y²)
x2+y²=2 であるから
(2x+y)^2≦10
よって
-√10 ≤2x+y≤√/10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして、左と同じ答
えを導くことができる。
187
3章
13
2次不等式

例題119
0₁ S=2x + 1 = 0.
x² + y²₁²²²2 -0.
·8²² = 4x²+² + xy + y J. & T.
DJ M L T Z e Y²
<76>
条件式は文字を減ら方針を進めたいが、
x+1=2を変形させる2x9に代入するのは上手くいかない。
そこで、2x+4=tとおき、これを条件式と見く文字を減らす。
2x+4=tとおくと、1=-2x-①
これをスムゲニュに代入すると、いつもと逆に代入する!!
x² + ( t = 2 x)²³² = -
2
5x²²-ftx + t²² - ² = 0 - 0
2
が実数解をもつための条件は④の判別式をDとすると
B² = ( ²25 1²- 5 (1²-2)
= ft² = 5t²³²+ lo
= -(t² = 10),
DZOFY. - (t = 10) = 0
t-10 ≤0
-√√₁0 = = = √ (0
t=xloaともD=0ざ、②は重解をもつ、
頂点のx座標
20
J
+ = + √10 ₂ ² ² 2 ² 2 ²10 0 + Y Y = 2/10 - (+10 |
2
(722471-3-2125 cz!!
17=71₁²₁²2 (2,4)= (-30 To Larzt Co
T TA JO
1x. 4) = (-2/10 -(0) art #int -110
tf
KOKUYO

Answer 1

exod

図を用いて意味を考えるといいです。
tが最大値のときを考えます。
実数x,yがx^2+y^2=2･･･①を満たすというのは、図の円周上にx,yが必ずあるということです。
2x+yの最大値とは、2x+y=tとおくと、y=-2x+t･･･②という一次関数の切片(t)の最大値を意味します。図の通り、切片tが最大になるときは、円に接するときになります。
つまり、②を①に代入した、xの二次方程式が重解を持つときがtが最大値になります。なので、D=0を計算します。
計算して、でてきたtの値が、最大値もしくは最小値になってます。